 |
|
Логарифмическое дифференцирование
Рассмотрим сложную функцию 
, где у=f(x). Запишем систему:
Выражение 
и называется логарифмической производной.
На практике очень часто приходится иметь дело с дифференцированием сложных степенных функций. Предварительное логарифмирование позволяет упростить эту задачу.
Пример: 
Таким образом, 
Дифференциал функции
Вернемся к определению производной: 
С помощью свойства связи предела и бесконечно малой величины 
(см. главу Пределы) , запишем: 
или 
Так как - бесконечно малая и 
стремится к нулю, то вторым слагаемым можно пренебречь. Тогда первое слагаемое 
и называется дифференциалом функции у=f(х). Для того, чтобы подчеркнуть это определение, принято записывать 
Рассмотрим геометрический смысл дифференциала:
| |
Дифференциалом функции у=f(х) первого порядка называется главная, линейная относительно приращения , часть приращения функции 
, равная произведению производной этой функции на приращение аргумента , обозначаемое в этом случае, как dx.
Эквивалентность записи 
докажем и по-другому: пусть у=х, тогда
Отсюда и следует 
Кроме того, определение дифференциала обосновывает представление производной, как отношения: из dy= 
следует 
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:
· dC= 0, C - постоянная (число).
· d(Cy)= Cdy.
· d(u 
v)= du dv.
· d(uv)= v du+u dv.
· 
Приведем обозначения для дифференциалов высших порядков: 
и т.д.
Формула для дифференциала используется в приближенных вычислениях. Действительно, из 
следует: 
, откуда 
Чем меньше значение , тем точнее результат. К примеру, вычислим 
. Здесь 
Тогда 
или 
- практически точно.
Примеры решения задач
Приращение, скорость изменения, ускорение – важные характеристики функции, которые позволяют делать общие выводы об изменяемости и устойчивости исследуемых процессов и моделей. Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих вычисление производных.
1. Найти приращение функции у = 
, если аргумент х изменяется от 1 до 1,4.
По определению 
В нашем случае f (x) = 12 + 1 = 2; f (x+Dx)=1,42+1=2,96. Следовательно, Dу = 2,96 – 2 = 1,96.
Ответ: 1,96.
2.у= х2 — 5х + 4
Дифференцируем: 
.
3. 
Предварительно перепишем это выражение: 
.
Теперь дифференцируем:
4. 
Используем формулу производной от произведения. Имеем:
5. 
.
Используем формулу производной от дроби. Имеем:
6.у=(1+5х)3.
Это - сложная функция. Преобразуем ее в систему.
, отсюда 
и 
7. 
.
, отсюда 
и 
8. 
, отсюда 
и 
9. 
, отсюда 
и
.
10. 
.
11.3х + у3 – 10у2 + 6 = 0
Используем формулу для производной от неявной функции 
. Тогда
После простых преобразований имеем: 
.
12. 
Решение: 
Учтем, что в правой части — произведение: 
Тогда: 
Отсюда после преобразований: 
.
13. 
Найти 
Последовательно дифференцируя, получаем: 
Следовательно, 
.
Ответ: 48.
14. 
Функции такого типа дифференцируются с помощью логарифмической производной
Прологарифмируем заданное выражение: 
.
Тогда 
или 
После подстановки выражения для у и упрощения окончательно получим
или 
15.С помощью дифференциала вычислить 
, если известно, что 
.
Приближенная формула имеет вид 
В нашем случае х=2;
Dх=0,1; 
. Следовательно,
.
Ответ: 0,743.
Вопросы для самоконтроля:
1. Приращение функции.
2. Производная функции – определение.
3. Геометрический и физический смыслы производной функции.
4. Табличные производные.
5. Теоремы о дифференцировании.
6. Производная сложной функции.
7. Производная неявной функции.
8. Производные высших порядков.
9. Логарифмическое дифференцирование.
10. Дифференциал функции.
11. Свойства дифференциала.
12. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.