Главная | Обратная связь

Изгибы функции и их определение

В целом ряде практически важных случаев анализа деталей процессов необходимо более подробно описывать изменяемость функции у=f(x) на интервале:

 

 

 

 

Назовем функцию выпуклой вверх (или просто - выпуклой) на интервале , если значения функции на этом интервале находятся выше отрезка, соединяющего точки и и вогнутой (или выпуклой вниз), если ее значения находятся ниже такого отрезка. Точку с, в которой выпуклость сменяется вогнутостью (или наоборот) назовем точкой перегиба функции .

 

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба определяются и анализируются с помощью второй производной по следующим правилам:

· Если значения второй производной на интервале отрицательны, то функция выпукла на этом интервале.

· Если значения второй производной на интервале положительны, то функция вогнута на этом интервале.

· Необходимым условием для точки перегиба является то, что в ней вторая производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Если при переходе через эту точку меняет знак, то это - достаточное условие перегиба.

 

Таким образом, для исследования функции на изгибы и точки перегиба, можно использовать следующую схему:

 

· Определяем производную

· Находим стационарные точки из анализа области определения второй производной и решения уравнения .

· Определяем знаки второй производной в интервалах между вычисленными точками и устанавливаем наличие точек перегиба и типы изгиба функции.

 

Асимптоты функции

 

Следующей дополнительной характеристикой функции являются асимптоты. Это - прямые, к которым стремится график функции при неограниченном возрастании (или убывании) аргумента. Существуют три вида асимптот, которые поясним чертежом:

Приведем, без доказательств, технику определения асимптот:

 

· Вертикальные асимптоты х=а находятся из анализа области определения функции . Например, у= не определена в точке х=2, следовательно, х=2 и есть вертикальная асимптота.

· Если существует предел или (или оба вместе), то уравнения у= b или (и) у=с определяют горизонтальныеасимптоты.

· Если существуют конечные пределы и , причем оба одновременно, то прямая у=аx+b является наклонной асимптотой графика функции .