Здавалка
Главная | Обратная связь

Общая схема исследования функции и построения графиков



В современных условиях построение графиков осуществляется на практике, как правило, по точкам или с помощью компьютера. Однако в задачах с повышенной ответственностью необходимо использовать описанные выше приемы. Полная последовательность анализа функции и построения ее графика состоит из следующих этапов:

· Находится область определения функции и вертикальные асимптоты, если они есть.

· Устанавливается тип функции: четная, нечетная, общего вида.

· Из решения уравнения определяются корни функции, т.е. точки ее пересечения с осью оХ.

· Вычисляются производные и .

· Определяются экстремумы функции.

· Определяются точки перегиба и исследуются выпуклости функции.

· Проверяется наличие горизонтальных и наклонных асимптот.

· При необходимости детализации, вычисляются значения функции в нескольких дополнительных точках.

· Все полученные результаты отображаются на плоскости, и строится график.

 

Расчеты и отображение результатов обычно делаются одновременно. Этапы 2, 6 и 7, во многих случаях, можно опустить.

 

Примеры решения задач

 

Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования на практике являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и исследование особенностей изменяемости функций, в том числе построение графиков функций. Приведем типовые примеры по теме.

 

1. Вычислить

Решение:

 

Ответ: 1,5.

2. Вычислить

Решение:

Ответ: функция – бесконечно малая при .

3. Вычислить

. Для раскрытия неопределенности такого типа следует предварительно преобразовать произведение в дробь.

 

Возможны два варианта:

или

Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя первый вариант, получим:

.

Ответ: функция – бесконечно малая при

4. Вычислить

Здесь имеет место случай Для раскрытия таких пределов удобно сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить правило Лопиталя. Имеем:

.

Так как ln A = 0, то А = е 0 = 1.

Ответ: 1.

5. Найти экстремумы функции у=(1 – х2)3.

Найдем производную: Стационарные точки: 6х(1 – х2)2=0, откуда х1=0; х2= –1; х3=1. Используем первое достаточное условие экстремума:

 

 

Для определения знака производной внутри интервалов проще всего выбрать произвольные удобные для вычислений точки, что и показано на схеме.

 

Таким образом, заданная функция имеет один максимум в точке х = 0, возрастает при x < 0 и убывает при х > 0. Максимальное значение функции уmax = f (0) = (1 – 02)3=1.

Ответ: уmax=1.

6. Найти экстремумы функции .

Дифференцируем:. Производная, очевидно, не существует при х=0. Кроме того, она равна 0 при х=1. Следовательно, имеем две стационарные точки х1=0 и х2=1. Опять используем первое достаточное условие:

Здесь для определения знаков производной в интервалах вычислялись:

 

Таким образом, заданная функция имеет максимум при х=0 и минимум при х=1. Соответствующие экстремальные значения: уmax=f(0)=...=1, ymin= f(1)=...= –2.

Ответ: уmax=1, ymin= –2.

 

7. Найти экстремумы функции у = 3 – 2х2 + х4

Дифференцируем: .

Стационарные точки: , откуда ; .

Используем второе достаточное условие. Вторая производная: . Таким образом:

,

т.е. является точкой максимума и

,

т.е. является точкой минимума и

.

,

т.е. является второй точкой минимума и

.

 

8. Исследовать выпуклости функции у=3х4 – 4х3.

Дифференцируем:

Стационарные значения для второй производной: 36х2 – 24х=0, откуда х1=0 и х2=

Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом, заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, причем при х < 0 и х > функция вогнутая, а при 0 < x < функция выпуклая.

 

Ординаты точек перегиба:

9. Исследовать функцию и построить ее график.

· ОДЗ этой функции: x>0. Вертикальная асимптота: х=0.

· Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция – общего вида.

· Определим точку пересечения с осью оХ: , откуда и х = 1.

· Дифференцируем:

· Определим стационарные точки. Значение х=0 исключаем, как не вошедшее в ОДЗ. Тогда: , откуда х=е.

· Выберем второе достаточное условие.

Вторая производная: .

Тогда, т.е. точка х = е является точкой максимума и . Заданная функция возрастает при x < e и убывает при x > e.

 

 

· Определим выпуклости заданной функции.Стационарные значения второй производной , откуда х = е1,5. Таким образом, точка х=е1,5 является точкой перегиба, причем слева от нее функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината упер.=...= .

· Проверим горизонтальную асимптоту:

, следовательно, ось оХ является горизонтальной асимптотой.

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Правило Лопиталя.

2. Возрастание и убывание функций.

3. Необходимое условие экстремума.

4. Первое достаточное условие экстремума.

5. Второе достаточное условие экстремума.

6. Глобальные экстремумы.

7. Выпуклость и вогнутость функции.

8. Асимптоты.

9. Общая схема исследования функции и построение графиков.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.