Общая схема исследования функции и построения графиков ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
В современных условиях построение графиков осуществляется на практике, как правило, по точкам или с помощью компьютера. Однако в задачах с повышенной ответственностью необходимо использовать описанные выше приемы. Полная последовательность анализа функции и построения ее графика состоит из следующих этапов: · Находится область определения функции и вертикальные асимптоты, если они есть. · Устанавливается тип функции: четная, нечетная, общего вида. · Из решения уравнения определяются корни функции, т.е. точки ее пересечения с осью оХ. · Вычисляются производные и . · Определяются экстремумы функции. · Определяются точки перегиба и исследуются выпуклости функции. · Проверяется наличие горизонтальных и наклонных асимптот. · При необходимости детализации, вычисляются значения функции в нескольких дополнительных точках. · Все полученные результаты отображаются на плоскости, и строится график.
Расчеты и отображение результатов обычно делаются одновременно. Этапы 2, 6 и 7, во многих случаях, можно опустить.
Примеры решения задач
Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования на практике являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и исследование особенностей изменяемости функций, в том числе построение графиков функций. Приведем типовые примеры по теме.
1. Вычислить Решение:
Ответ: 1,5. 2. Вычислить Решение: Ответ: функция – бесконечно малая при . 3. Вычислить . Для раскрытия неопределенности такого типа следует предварительно преобразовать произведение в дробь.
Возможны два варианта: или Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя первый вариант, получим: . Ответ: функция – бесконечно малая при 4. Вычислить Здесь имеет место случай Для раскрытия таких пределов удобно сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить правило Лопиталя. Имеем: . Так как ln A = 0, то А = е 0 = 1. Ответ: 1. 5. Найти экстремумы функции у=(1 – х2)3. Найдем производную: Стационарные точки: 6х(1 – х2)2=0, откуда х1=0; х2= –1; х3=1. Используем первое достаточное условие экстремума:
Для определения знака производной внутри интервалов проще всего выбрать произвольные удобные для вычислений точки, что и показано на схеме.
Таким образом, заданная функция имеет один максимум в точке х = 0, возрастает при x < 0 и убывает при х > 0. Максимальное значение функции уmax = f (0) = (1 – 02)3=1. Ответ: уmax=1. 6. Найти экстремумы функции . Дифференцируем:. Производная, очевидно, не существует при х=0. Кроме того, она равна 0 при х=1. Следовательно, имеем две стационарные точки х1=0 и х2=1. Опять используем первое достаточное условие: Здесь для определения знаков производной в интервалах вычислялись:
Таким образом, заданная функция имеет максимум при х=0 и минимум при х=1. Соответствующие экстремальные значения: уmax=f(0)=...=1, ymin= f(1)=...= –2. Ответ: уmax=1, ymin= –2.
7. Найти экстремумы функции у = 3 – 2х2 + х4 Дифференцируем: . Стационарные точки: , откуда ; . Используем второе достаточное условие. Вторая производная: . Таким образом: , т.е. является точкой максимума и , т.е. является точкой минимума и . , т.е. является второй точкой минимума и .
8. Исследовать выпуклости функции у=3х4 – 4х3. Дифференцируем: Стационарные значения для второй производной: 36х2 – 24х=0, откуда х1=0 и х2= Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом, заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, причем при х < 0 и х > функция вогнутая, а при 0 < x < функция выпуклая.
Ординаты точек перегиба: 9. Исследовать функцию и построить ее график. · ОДЗ этой функции: x>0. Вертикальная асимптота: х=0. · Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция – общего вида. · Определим точку пересечения с осью оХ: , откуда и х = 1. · Дифференцируем: · Определим стационарные точки. Значение х=0 исключаем, как не вошедшее в ОДЗ. Тогда: , откуда х=е. · Выберем второе достаточное условие. Вторая производная: . Тогда, т.е. точка х = е является точкой максимума и . Заданная функция возрастает при x < e и убывает при x > e.
· Определим выпуклости заданной функции.Стационарные значения второй производной , откуда х = е1,5. Таким образом, точка х=е1,5 является точкой перегиба, причем слева от нее функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината упер.=...= . · Проверим горизонтальную асимптоту: , следовательно, ось оХ является горизонтальной асимптотой.
Вопросы для самоконтроля: 1. Правило Лопиталя. 2. Возрастание и убывание функций. 3. Необходимое условие экстремума. 4. Первое достаточное условие экстремума. 5. Второе достаточное условие экстремума. 6. Глобальные экстремумы. 7. Выпуклость и вогнутость функции. 8. Асимптоты. 9. Общая схема исследования функции и построение графиков.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|