Главная | Обратная связь

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Имени академика М.Ф. Решетнева»

(СибГАУ)

 

КАФЕДРА ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

 

Лабораторная работа 3

по курсу «Измерительный практикум»

Распределение Максвелла

Выполнил:

Принял:

старший преподаватель

 

 

Красноярск 2012

Цель работы:

-знакомство с компьютерной моделью, описывающее поведение молекул идеального газа;

-экспериментальное подтверждение распределения Максвелла молекул идеального газа по скоростям;

-экспериментальное определение массы молекул в данной модели.

Оборудование:

-программа «Открытая физика 1.1.»

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Статистический метод описания состояний макроскопических тел (термодинамичсекиз систем) основывается на определении статистических закономерностей случайного (теплового) движения отдельных микрочастиц тела. Переменные (координаты и скорости), описывающие движение отдельных, взаимодействующих между собой микрочастиц тела (атомов и молекул), изменяются случайным образом, и предсказать их значения в следующий момент времени не представляется возможным, изменение же их средних значений происходит закономерно. Аналогичным закономерным образом изменяются и средние значения любых функций от переменных, использующихся для описания движения, таких, например, как квадрат или модуль скорости поступательного движения молекулы.

Наблюдаемые параметры термодинамической системы (температура, давление, и т.д.) определяются как средние значения соответствующих функций от переменных, описывающих движение микрочастиц. Разработкой методов определения свойств макроскопических тел через параметры, описывающие движение и взаимодействие микрочастиц, из которых эти тела состоят, занимается статистическая физика.

В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает функция распределения, которая определяет статистические характеристики рассматриваемой системы. Знание её изменения с течением времени позволяет описывать поведение системы со временем. Функция распределения даёт возможность рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы.

Рассмотрим подход предложенный Максвеллом в 1859 году для получения вида функции распределения.

Введём пространство скоростей. Скорость любой молекулы газа можно представить через её проекции на соответствующие оси системы координат в пространстве скоростей. Если указанные значения отложить по осям прямоугольной системы координат, то можно построить пространство скоростей, каждая точка в котором будет соответствовать определенному набору проекций скорости молекулы газа.

Сделаем предположение, что вероятности попадания значений проекций скорости молекулы в соответствующие интервалы не зависят друг от друга, то есть значения проекций скорости молекул на ортогональные оси считаются статистически независимыми величинами.

Тогда функцию распределения можно представить в виде:

где функции распределения значений соответсвующих проекций скорости, причём вид этих функций должен быть одинаковым, так как все оси ситемы координат в пространстве скоростей равноправны.

Явный вид функции распеределения значений проекции скорости :

функция распределения молекул газа по скоростям имеет вид:

или

Функции (2) и (3) (или (4)) называются функциями распределения Максвелла. Качественно вид функции (2), изображенной на рисунке 1, совпадает с нормальным законом распределения Гаусса, описывающим распределение ошибок измерений случайной величины.

Рисунок 1. Распределение Максвелла

Кроме полученного выше распределения Максвелла часто при проведении расчетов используется распределение по абсолютным значениям скоростей молекул газа. Для получения этого распределения запишем в общем виде вероятность того, что значения проекций скорости лежат внутри элементарного объема пространства скоростей

Учитывая то, что эта вероятность зависит только от величины скорости и не зависит от её направления в пространстве, элементарный объём можно считать имеющим форму шарового слоя со средним радиусом и толщиной . Указанная возможность связана с тем, что в любой точке на поверхности сферы, центр которой совпадает с началом координат пространства скоростей, значения скорости , а следовательно и функции , одинаковые. Считая шаровой слой тонким, и записывая его элементарный объём в виде , выражение (5) может быть представлено в форме:

 

Функция

или

называется функцией распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей, и она показывает вероятность того, что величина скорости имеет значения от до . На рисунке 2 изображен график функции

Рисунок 2. Распределение Максвелла по абсолютным значениям скоростей

Максимум этой функции соответствует наиболее вероятному значению скорости молекул газа , которую можно определить, приравняв к нулю производную от функции . Кроме случаев, когда соответствующих минимуму функции , имеется решение

дающее выражение для наиболее вероятной скорости молекул газа.

Кроме наиболее вероятной скорости, функция позволяет найти среднюю скорость

и среднее значение квадрата скорости

Вычисление интегралов окончательно дает выражения для средней скорости:

и для средней квадратичной скорости молекул

Полученные распределения справедливы только для равновесного состояния термодинамической системы. Вследствие достаточно общего метода их получения, они применимы не только для газов, но и для любых систем, движение микрочастиц которых описывается уравнениями классической механики.

Первым экспериментальным подтверждением существования распределения молекул по скоростям можно считать результаты опыта Штерна. Но точность этого опыта была недостаточной для установления конкретного вида распределения. Прямые измерения скорости атомов ртути в пучке были получены в 1929 году Ламмертом.