Геометрический смысл производной

Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей ММ₀, когда по кривой .

Пусть (рис.16). Из имеем . Если , то , где a – угол наклона касательной к графику функции в точке к оси Ох, т.е.

Значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Уравнение нормали имеет вид:

, при условии .

Пусть даны две пересекающиеся в точке кривые и , причем обе функции имеют производные в этой точке. Тогда углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке :

Пример.

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Решение.

Так как , то , а . Получаем уравнение касательной:

или

и уравнение нормали:

или .

Пример.

Найти угол, под которым пересекаются кривая и прямая .

Решение.

Найдем точку пересечения графиков этих функций. Для этого решим уравнение . Теперь найдем уравнение касательной к графику функций в точке . Т.к. , то ; . Значит, уравнение касательной имеет вид .

Угол, под которым пересекаются в точке прямая и касательная и является искомым углом. Так как и , то .

Задачи.

Пользуясь только определением производной, найти :

7.1. ; 7.2. ;

7.3. ; 7.4. ;

7.5. ; 7.6. ;

7.7. ; 7.8. .

Найти производные следующих функций:

7.9. ; 7.10. ;

7.11. ; 7.12. ;

7.13. ; 7.14. ;

7.15. ; 7.16. ;

7.17. ; 7.18. ;

7.19. ; 7.20. ;

7.21. ; 7.22. ;

7.23. ; 7.24. ;

7.25. ;7.26. ;

7.27. ; 7.28. ;

7.29. ; 7.30. ;

7.31. ; 7.32. ;

7.33. ; 7.34. ;

7.35. ; 7.36. ;

7.37. ; 7.38. ;

7.39. ; 7.40. .

7.41. Найти производные гиперболических функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в данной точке и сделать рисунок:

7.42. ; 7.43. ;

7.44. ; 7.45. ;

7.46. ; 7.47. .

Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

7.48. ;

7.49. ;

7.50. ;

7.51. .

5. Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема на интервале . Производная этой функции в некоторой точке определяется равенством , поэтому можно записать

где при . Умножая все члены последнего равенства на , получаем . Приращение состоит из двух слагаемых, первое из которых при есть главная часть приращения, линейная относительно . Произведение называется дифференциалом функции и обозначается через :

Т.к. , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, то

Основное использование дифференциала функции – приближенные вычисления, т.к. при справедливо приближенное равенство:

или

Пример.

Вычислить приближенно: .

Решение.

Пусть , . Тогда , , .

Используя свойство первого дифференциала, получаем

Задачи.

7.52. Найти приращение и дифференциал в общем виде, а также в точке , если известно :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Вычислить приближенно с помощью свойства дифференциала:

7.53. ; 7.54. ;

7.55. ; 7.56. ;

7.57. ; 7.58. ;

7.59. ; 7.60. .

6. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале . Значения производной зависят от , т.е. производная также представляет собой функцию от . Дифференцируя эту функцию, можно получить вторую производную от функции , т.е. . Производной n-го порядка от функции называется производная первого порядка от производной -го порядка и обозначается символом или : . Аналогично вводятся дифференциалы высших порядков. Дифференциал от первого дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается: .

Найдем выражение для второго дифференциала. В силу общего определения дифференциала имеем: , т.к. не зависит от . Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала -го порядка: .

Пример.

Найти производную и дифференциал второго порядка функции

Решение.

Используя правило дифференцирования сложной функции, находим

, .

Следовательно,

, .

Задачи.

Найти производные и дифференциалы 2-го порядка от следующих функций:

7.61. ;

7.62. ;

7.63. ;

7.64. .

7.65. Найти , если .

7.66. Найти , если .

Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя.(Раскрытие неопределенности типа ).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки, и . Тогда, если и существует , то существует и , причем

Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно.

Замечание 2. Теорема верна в случае .

Замечание 3. Теорема верна в случае, если

(т.е. имеет место неопределенность типа )

С помощью тождественных преобразований к основному типу или можно свести неопределенности других типов, таких, как

Пример.

Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Решение.

а) при получаем неопределенность типа :

;

б) при получаем неопределенность типа . Чтобы раскрыть ее, применяем правило Лопиталя дважды:

;

в) здесь имеем неопределенность типа :

;

г) здесь имеем неопределенность типа :

д) здесь имеем неопределенность типа . Обозначим и прологарифмируем это равенство по основанию е:

В правой части этого равенства при имеем неопределенность типа . Применяя дважды правило Лопиталя, находим

Следовательно, .

Задачи.

Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

7.67. ; 7.68. ;

7.69. ; 7.70. ;

7.71. ; 7.72. ;

7.73. ; 7.74. ;

7.75. ; 7.76. ;

7.77. ; 7.78. ;

7.79. ; 7.80. ;

7.81. ; 7.82. ;

7.83. ; 7.84. ;

7.85. ; 7.86. ;

7.87. ; 7.88. ;

7.89. ; 7.90. ;

7.91. ; 7.92. .

8. Формула Тейлора

Если функция имеет производные до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки , то для всякого из этой окрестности справедлива формула Тейлора (порядка n):

где - остаточный член формулы Тейлора. Остаточный член позволяет оценить ошибку в результате замены функции ее многочленом Тейлора

т.е. .

Имеются различные формы записи остаточного члена . Наиболее удобна для анализа и запоминания форма Лагранжа:

На практике часто рассматривают случай, когда , тогда

–

формула Маклорена.

Смысл формулы Тейлора, как и формулы Маклорена, состоит в том, что функция сложной «природы» заменяется многочленом. Если в формуле Тейлора (Маклорена) отбросить остаточный член, то получится приближенная формула, заменяющая данную функцию многочленом n-й степени.

Приближенные формулы основных элементарных функций:

;