Здавалка
Главная | Обратная связь

Светитнезнакомаязвездасновамыоторваныотдома



была получена цепочка

Таытоеонсоовзмевтрадазедвмаянтоаысзаимнонвк

При этих же значениях a, b проведено зашифрование еще некоторой цепочки из 28 букв. Получилось вот что:

Видхьврлмаояооаоддсемдроиввоеозтообнзо

Найдите значения a и b и восстановите исходное сообщение.

Решение

Для начала найдём в открытом тексте две уникальные буквы (по возможности близкие). Это например К и Я, стоящие соответственно на 12 и 16 позициях в открытом тексте. В шифрованном тексте они стоят соответственно на 43 и на 28.

Составляем систему уравнений

{ 12a+b=43k
16a+b=28+43l

Вычитая, получаем уравнение 4a=28+43m , при m=0 находим a=7, из первого уравнения находим b=2.

Расшифровав второй текст, получим:

морозвоеводадозоромобходитвладеньясвои

Задача 4.Делится ли число 222007+32008-2009-1 на 1155?

Решение

Да, делится. Число вида 2k-1 делится на 3 тогда и только тогда, когда k четно, на 5 - тогда и только тогда, когда k кратно 4, на 7 - тогда и только тогда, когда kкратно 3, а на 11 - тогда и только тогда, когда k кратно 10.

Показатель степени 22007+32008-2009 делится на 4; он делится на 3, т.к.

22007+32008-2009= (22007-2006)+(32008-3)= (22007-2-2004)+(32008-3)= 2·(22006-1-1002)+(32008-3)

где 22006-1-1002 делится на 3. Поэтому в соответствии с первыми тремя критериями N делится на 3, 5 и 7. Числа 32008 и 22007 в десятичной записи оканчиваются на 1 и 8 соответственно, поэтому 22007+32008-2009 делится на 10. Таким образом, число N=222007+32008-2009-1 делится на 3·5·7·11=1155.

Задача 5.Число n представляется в виде произведение двух чисел n=p·q. Найти эти числа и привести решение, если известно, что

А. n = 40003200063, а |p-q|=2

Б. n = 40000398401, а p , q - простые и |p-q|≤00

Решение

Пункт А. p=x-1, q=x+1, 40003200063=x 2-1, x 2=40003200064.

Нетрудно заметить, что 40003200064=(200000+z)2 и z принадлежит множеству {1,2,...,9} (небольшое). Число 40003200064 заканчивается на 64, следовательноz=8.

Отсюда p=200007, q=200009

Пункт Б. n=x 2-t 2, x 2=n+t 2, t- маленькое, x>√n.

Из представленных чисел легко определяется целая часть корня √n. Это число - 200000. Оно увеличивается на единицу и возводится в квадрат (первый кандидат на x) и из полученного вычитается число n (кандидат для t 2). Проверяется, извлекается ли квадратный корень - он извлекается сразу же для первого кандидата и равен 40.

Отсюда p=199961, q=200041

Задача 6.Для наблюдения за страной Криптоландией запущен разведывательный спутник. Страна Криптоландия имеет форму прямоугольника. При этом спутник находится на расстоянии 700 км от одной вершины прямоугольника, на расстоянии 330 км от противоположной вершины прямоугольника и на расстоянии 650 км от третьей вершины прямоугольника. Найти расстояние от спутника до четвертой вершины прямоугольника.

Решение

Решим задачу в общем виде. Пусть дана четырехугольная пирамида, основанием которой является прямоугольник. При этом расстояние от вершины пирамиды до одной вершины основания равно a, расстояние от вершины до противоположной вершины основания равно b, а расстояние до третьей вершины основания равно c. Найти длину четвертого бокового ребраd. Рассмотрим проекцию вершины пирамиды на основание точку Р.

Пусть расстояние от точки P до сторон прямоугольника AB, BC, CD, AD равно соответственно. Пусть также - высота пирамиды. Тогда имеем следующие равенства для определения длин боковых ребер пирамиды:

x 2+y 2+h 2=a 2
v 2+z 2+h 2=b 2
y 2+z 2+h 2=c 2

Длина четвертого (неизвестного) бокового ребра выражается равенством

x 2+v 2+h 2=d 2

Из этих четырех равенств нетрудно получить равенство

a 2+b 2=c 2+d 2,

то есть d 2=a 2+b 2-c 2. Осталось подставить в полученное выражение известные значения a,b,c и найти d=420 км.

Задача 7.В бесконечной последовательности цифр 2, 0, 0, 8, 0, 8, 6 ... каждая цифра, начиная с пятой, равна младшему разряду суммы четырех предыдущих цифр. Доказать, что в этой последовательности вновь встретятся подряд идущие цифры 2, 0, 0, 8.

Решение

Последовательность состоит из цифр от 0 до 9. Так как число четверок (a,b,c,d) таких цифр конечно (и равно 10000), то в последовательности рано или поздно встретятся две повторяющиеся четверки. Пусть они встретились на i-м и j-м месте, 0≤i0. (Сейчас доказано, что последовательность периодическая. Но нужно еще доказать, что она чисто периодическая.)

Закон рекурсии:

ui+4=r10(ui+3+ui+2+ui+1+ui), (1)

 

где r10 - остаток от деления на 10. Заметим, что по заданным четырем членам последовательности можно однозначно восстановить предыдущий член. Другими словами, если ui+4, ui+3, ui+2, ui+1 известны, то существует единственное ui, для которого выполняется рекуррентное соотношение (1). Поэтому если в последовательности совпали четверки на местах i и j, то совпадут четверки и на местах i-1 и j-1. И т.д. Поэтому совпадут четверки на местах 0 и j-i. Ч.т.д.

Задача 8. На космической станции, состоящей из отсеков (круглых комнат) и соединяющих их коридоров, произошел сбой электроснабжения, в результате чего связь с роботом, работающим на станции, прервалась. После восстановления работы станции выяснилось, что движение по коридорам, половина из которых оказались неосвещенными, возможно только по направлениям, указанным на схеме и занимает 1 минуту для каждого коридора. При этом неизвестно, в каком отсеке находится робот.

Робот управляется командами из нулей и единиц, при этом 0 соответствует движению по освещенному коридору, а 1 – по неосвещенному. Передайте команду роботу, которая приведет его из любой комнаты в лабораторию (где находится выход). С момента начала движения робота его энергоснабжения хватит не более, чем на 5 минут.

Решение

Одним из возможных способов решения поставленной задачи будет нахождение путей длины 5, ведущих ИЗ заданной вершины (лаборатории, вершины №3), то есть куда и по каким коридорам за 5 шагов можно попасть из этой вершины, двигаясь ПРОТИВ стрелок. Сначала из нее можно попасть в вершины №8 и №2 и двигаться можно только по неосвещенным коридорам. Из вершин №8 и №2 ведут пути только по неосвещенным коридорам в вершины №7, №5 и №1, 6 и т.д. Это приводит к построению дерева, приведенного на рисунке. Остаётся перебрать 6 вариантов, считывая последовательности справа налево. Истинный вариант: 01011 (выделен жирным).

Задача 9. Осмысленная фраза на русском языке записана два раза подряд без пробелов и знаков препинания и зашифрована шифром Виженера. Зашифрование состоит в следующем. Выбирается ключевое слово, например, мир. Для изменения первой буквы шифруемого сообщения создается таблица следующего вида:

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я
М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л

В нижней строке алфавит циклически сдвинут влево так, чтобы первая буква ключевого слова м оказалась под буквой а. Буква открытого текста (например, п) отыскивается в верхней строке и заменяется стоящей под ней буквой (для п – это ь). Для зашифрования второй буквы аналогичным образом используется буква и, третьей - р, четвертой – вновь ми т.д.

Сообщение было зашифровано с использованием ключевого слова из пяти букв. Результат зашифрования выглядит так:







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.