 |
|
Поняття криволінійного інтеграла другого роду . Фізичний зміст
Криволінійний інтеграл другого роду визначається майже так само, як інтеграл першого роду. Нехай у площині 
задано гладку чи кусково-гладку криву 
(рис. 3) і на цій кривій визначено обмежену функцію 
. На відміну від інтегралів першого роду вважатимемо криву напрямною лінією, у якої точки 
та 
є відповідно початковою та кінцевою точками. Розіб'ємо криву точками 
на 
довільних частин, на кожній частинній дузі 
виберемо точку 
і складемо суму
(15)
де 
– проекція вектора 
на вісь 
.
Відмінність сум (1) і (15) очевидна.
Якщо при 
інтегральні суми (15) мають скінченну границю, яка не залежить ні від розбиття кривої , ні від вибору точок 
, то цю границю називають криволінійним інтегралом від функції по координаті 
вздовж кривої і позначають 
Рисунок 3 – Крива
Таким чином,
(16)
Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл від функції 
по координаті 
:
(17)
де 
– проекція вектора на вісь 
(рис. 3). Суму
називають криволінійним інтегралом по координатах або криволінійним інтегралом другого роду від функцій 
і 
по кривій і позначають символом
Функції і 
іноді позначатимемо через і , а криволінійний інтеграл записуватимемо у вигляді 
.
Для того щоб дати фізичну інтерпретацію криволінійного інтеграла другого роду, розглянемо задачу про роботу змінної сили на криволінійному шляху. Нехай матеріальна точка 
під дією змінної сили 
, де 
– проекції сили на осі та , рухається на площині вздовж кривої 
. Необхідно обчислити роботу сили 
при переміщенні точки 
з точки в точку 
(рис. 4).
Рисунок 4 – Робота сили 
при переміщенні
Розіб'ємо криву точками 
на частин і на кожній окремій дузі 
візьмемо довільну точку .
На цю точку діє сила 
. Роботу 
, яку виконує ця сила при переміщенні точки по вектору 
можна знайти за допомогою скалярного добутку
Ця робота наближено дорівнює роботі змінної сили при переміщенні матеріальної точки по дузі довжиною 
.
Робота сили вздовж усієї ламаної 
дорівнює
Цей вираз дає наближене значення шуканої роботи . Перейшовши до границі при , знайдемо точне її значення:
(18)
Отже, з погляду фізики криволінійний інтеграл другого роду вздовж деякої кривої дорівнює роботі змінної сили при переміщенні матеріальної точки вздовж цієї кривої.