 |
|
Представление непериодических функций времени с помощью интеграла Фурье
Наряду с рассмотренными ранее классическим и операторным методами анализа переходных процессов может быть применен метод, в котором используются выражения токов и напряжений, являющихся функциями времени, с помощью интеграла Фурье. Сущность этого метода заключается в представлении непериодических функций в виде суммы бесконечного множества синусоидальных функций с бесконечно малыми амплитудами и с частотами, имеющими все возможные значения от –Ґ до +Ґ. Соответственно, этот метод может быть назван методом частотных характеристик или, короче, частотным методом. Как будет видно из дальнейшего, такое разложение непериодических функций имеет много общего с разложением периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье. Смысл такого разложения, по сути дела, тот же, что и при анализе процессов в линейных цепях, находящихся под действием периодического несинусоидального напряжения. Осуществляя такое разложение непериодического напряжения на синусоидальные составляющие, получаем возможность, пользуясь хорошо известными приемами расчета токов в цепи при синусоидальных напряжениях, найти токи в цепи от действия отдельных составляющих напряжения, а затем получить результирующий ток, пользуясь методом наложения.
(*)
Два последних выражения можно рассматривать как взаимно обратные преобразования, устанавливающие соответствие между f(t) и F (jqw1). Функция F (jqw1) представляет собой дискретный спектр функции f(t).
Предположим теперь, что f(t) — непериодическая функция. Чтобы получить ее выражение, пригодное для любого значения t, на основании выражений (*) будем рассматривать данную непериодическую функцию f(t) как периодическую с бесконечно большим периодом.
При беспредельном возрастании T разность Dw = 2p/T = w1 между угловыми частотами любых двух смежных гармоник, равная угловой частоте w1 первой гармоники, будет стремиться к нулю. Соответственно, дискретное множество значений частот перейдет в непрерывно изменяющуюся частоту w.
Переписав первое выражение (*) в виде
и устремляя Dw к нулю, получим
(**)
т. е. ряд Фурье переходит при этом в интеграл Фурье. При этом функция F(jw) определится на основании второго выражения (*) в виде
(***)
Соотношение (***) называют прямым преобразованием Фурье, позволяющим найти по заданной функции f(t)соответствующую ей F(jw).
Соотношение (**) называют обратным преобразованием Фурье, дающим возможность по известной функции F(jw) найти f(t).
Следует сделать существенную оговорку, что прямое преобразование Фурье имеет смысл, если интеграл в его левой части имеет определенное конечное значение. Для этого недостаточно, чтобы функция f(t) удовлетворяла условиям Дирихле. В дополнение к ним является достаточным, чтобы f(t) была абсолютно интегрируема в пределах от –¥ до +¥, т. е. чтобы существовал интеграл
Это, как правило, означает, что f(t) должна стремиться к нулю при t®¥ и при t ®¥.
Заключение
Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурьеобычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть, обратимый переход от временного пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:
· Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина);
· преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование;
· синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические;
· по теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел;
· дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье.