Закон збереження електричного заряду як наслідок рівнянь Максвела

Задачі 2, 7, 14

Поле струму (нескінченно довгого проводу). Нехай є циліндричний прямий круглий стрижень з радіусом . Його довжина достатньо велика (можна вважати стрижень нескінчено довгим). Вздовж стрижня протікає струм , густина якого залежить від відстані від осі стрижня , так що

Знаючи залежність , треба знайти вектор напруженості магнітного поля всередині і зовні стрижня.

Виберемо замкнутий контур у вигляді кола, площина якої перпендикулярна до осі стрижня, радіус .

. За законом повного струму .

Знаючи , можемо знайти інтеграл і величину вектору напруженості магнітного поля. Зокрема, якщо , то

. В цьому випадку контур з радіусом r буде знаходитись за межами стрижня

. Звідси

Таким чином, при будь-якому законі розподілу струму по перерізу за межами стрижня вектор такий же, як для тонкого проводу зі струмом , розміщеного на осі системи. На рисунку наведений графік зміни в залежності від .

Задача 17

Напруженість магнітного поля у центрі кільця із струмом.

Для проведення розрахунків перепишемо формулу Біо-Савара-Лапласа у вигляді

Оскільки радіус завжди перпендикулярний до дотичної до кола (з геометрії), то кут між та становить 90°, отже у кожній точці кільця. Для вказаного напрямку протікання струму магнітне поле

буде направлене до нас для кожного елементу струму. Користуємось принципом суперпозиції. Задача зводиться до інтегрування по довжині кола

CGSM. CGSE. CI.

Задачі 1, 8, 15, 25

Рівномірно заряджена непровідна куля. Маємо кулю, рівномірно заряджену по об’єму із об’ємною густиною . Із симетрії задачі очевидно, що силові лінії поля будуть напрямлені радіально. Виберемо замкнуту поверхню у вигляді сфери радіуса .

Система Гаусса.

Для : . Сфера охоплює всю кулю. Охоплений заряд становить . Звідси поле поза кулею співпадає із полем точкового заряду, розташованого у її центрі

Для : , де . Звідси поле становитиме .

В системі СІ.

: , звідки , .

: , де . Отже ; .

Графічно залежність електричного поля, створеного зарядженою непровідною кулею, наведена на рисунку.

Металева куля. У випадку металевої кулі все співпадає із випадком непровідної кулі, крім того, що всередині металевої кулі поля немає (дивись рисунок).

Задачі 5, 12, 19, 24

Нескінченна заряджена нитка. Нехай є нескінченно довга тонка нитка радіусом , заряджена з об’ємною густиною . На одиницю її довжини припадає заряд

З симетрії задачі очевидно, що силові лінії поля направлені радіально. У якості замкнутої поверхні виберемо коаксіальний циліндр довільної довжини і радіуса . Очевидно, що потік вектора напруженості електричного поля буде направлений лише через бічну поверхню циліндру.

В системі Гаусса.

: , звідки .

Задачі 4, 18

Сферичний конденсатор з провідністю речовини, що його заповнює.

Нехай є сферичний конденсатор з радіусами сфер і . Конденсатор заповнений речовиною з і питомим опором , що не залежить від координат . На самостійне опрацювання вам виносилось знайти хід потенціалу в такому конденсаторі

де , внутрішня сфера заземлена, на зовнішню відносно внутрішньої подається потенціал . Струм тече від зовнішньої сфери до внутрішньої. Поле всередині конденсатору

густина струму

Знак (–) показує, що струм тече в сторону зменшення . Враховуючи це і цікавлячись тільки абсолютним значенням величини , можемо цей знак випустити

Звідси

. в системі CGSE

Цей результат отриманий в системі CGSE. В системі СІ .

Задачі 6, 20, 22

Циліндричний конденсатор.

Позначимо радіус внутрішнього електроду , радіус зовнішнього електроду , внутрішній електрод заземлений, зовнішній електрод має потенціал . Розподіл потенціалу у циліндричному конденсаторі має вигляд

Тоді поле у конденсаторі

Густина струму

Відкинемо знак “мінус”, і запишемо повний струм як , де довжина конденсатору. Підставивши значення густини струму у рівняння для струму, отримаємо опір

. в системі CGSE

. в системі СІ

Задачі 3, 13, 21

Закон збереження електричного заряду як наслідок рівнянь Максвела

Закон збереження електричного заряду раніше був розглянутий як наслідок експериментів. Однак, його можна одержати і з системи рівнянь Максвелла. Візьмемо дивергенцію від правої і лівої частин першого рівняння

Але , змінюючи порядок диференціювання по координатах і часу, одержимо:

, , тому

Задачі 9, 23

і є сумісними

Для цього візьмемо друге рівняння і застосуємо операцію дивергенції:

Звідси випливає, що , тобто не залежить від часу. Якщо припустити, що при відсутності струмів провідності і змінного електричного поля , то можна визначити константу, вона дорівнює нулю. Отже, — третє рівняння Максвелла є наслідком другого при зроблених припущеннях.

Задачі 10, 16

Індуктивність тороїда. Тонкий тороїд з речовини з магнітною проникністю , площею перерізу , довжиною . На тороїд навито витків проводу. Нехай струм в обмотці дорівнює . Напруженість магнітного поля всередині тороїду , де кількість витків на одиницю довжини тороїда, магнітна індукція , потік вектора магнітної індукції через всі витки

звідки .

В системі СІ вираз для індуктивності тороїду має вигляд .