 |
|
Связь между декартовыми и полярными координатами
Пару полярных координат r и 
можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:
x = rcos φ,
y = rsin φ,
в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:
r2 = y2 + x2 (по теореме Пифагора).
Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:
- Для
, может быть произвольным действительным числом. - Для
, чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в 2π. Обычно выбирают интервал 
или 
.
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями (arctg обозначает обратную функцию к тангенсу):
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:[14]
Учитывая, что для вычисления полярного угла не достаточно знать отношение y к x, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты x.
Уравнение кривых в полярных координатах
Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат были бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.
Окружность
Круг, заданный уравнением 
.
Общее уравнение окружности с центром в ( 
) и радиусом a имеет вид:
Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например
r(φ) = a
является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом a.[15]
Прямая
Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением
φ = θ,
где θ — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, 
где m — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую φ = θ в точке 
определяется уравнением
r(φ) = r0sec(φ − θ).
Полярная роза
Полярная роза задана уравнением 
.
Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:
r(φ) = acos(kφ + θ0)
для произвольной постоянной θ0 (включая 0). Если k — целое число, то это уравнение будет определять розу с k лепестками для нечётных k, либо с 2k лепестками для чётных k. Если k — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная a определяет длину лепестков.
Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном k мы будем иметь k - лепестковую розу. Таким образом, уравнение r(φ) = cos(2φ) будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус - это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.
Спираль Архимеда
Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением 
для 
.
Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:
r(φ) = a + bφ.
Изменения параметра a приводят к повороту спирали, а параметра b — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для φ > 0 а другую для φ < 0. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.
[править] Конические сечения
Эллипс.
Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:
где e — эксцентриситет, а 
— фокальный параметр. Если e > 1, это уравнение определяет гиперболу; если e = 1, то параболу; если e < 1, то эллипс. Отдельным случаем является e = 0, определяющее окружность с радиусом .
Комплексные числа
Пример комплексного числа 
, нанесённого на комплексную плоскость.
Пример комплексного числа, нанесённого на график, с использованием формулы Эйлера.
Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число z может быть записано в прямоугольной форме так:
z = x + iy,
где i — мнимая единица, или в полярной (см. формулы преобразования между системами координат выше):
и отсюда:
z = reiφ,
где e — число Эйлера. Благодаря формуле Эйлера, оба представления эквивалентны[16] (Следует отметить, что в этой формуле, подобно остальным формулам, содержащим возведения в степень углов, угол задан в радианах)
Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться указанные выше формулы преобразования между системами координат.
Операции умножения, деления и возведения в степень с комплексными числами, как правило, проще проводить в полярной форме. Согласно правилам возведения в степень:
- Умножение:
- Деление:
- Возведение в степень (формула Муавра):
(reiφ)n = rneinφ.
Векторный анализ
Для полярных координат можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле 
можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы:
в направлении 
, и
Связь между декартовыми компонентами поля Fx и Fy и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:
Fx = Frcos φ − Fφsin φ;
Fy = Frsin φ + Fφcos φ.