 |
|
Основные свойства производной
Т.А. Волкова, С.С. Соколов
Производная
(задания для выполнения расчетно-графических работ)
|
|
|
|
|
|
Федеральное агентство морского и речного транспорта
Федеральное бюджетнОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций
Т.А. Волкова, С.С. Соколов
Производная
(задания для выполнения расчетно-графических работ)
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций
Санкт-Петербург
УДК 517.2
ББК 22.161
Рецензент:
Кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика»
А.С. Кобелева
Т.А. Волкова, С.С. Соколов
ПРОИЗВОДНАЯ (ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ): учебно-методическое пособие – СПб.: СПГУВК, 2012 – 59с.
Учебно-методическое пособие содержит задания для выполнения расчетно-графических работ по курсу «Математика» и «Математический анализ» студентами, обучающимися на специальностях: 010501.65 «Прикладная математика и информатика», 090105.65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», 230201.65 "Информационные системы и технологии", - а также по направлениям бакалавриата: 010400.62 «Прикладная математика и информатика», 090900.62 «Информационная безопасность», 230400.62 "Информационные системы и технологии".
УДК 517.2
ББК 22.161
@Санкт-Петербургский государственный
университет водных коммуникаций, 2012
СОДЕРЖАНИЕ
Задания. 2
Производная. 2
Основные свойства производной. 2
Таблица производных. 2
Производная параметрически заданной функции. 2
Производная показательно-степенной функции. 2
Вычисление приближенного значения функции с помощью дифференциала. 2
Геометрический и механический смыслы производной. 2
Геометрический смысл производной. 2
Механический смысл производной. 2
Исследование функций и построение графиков. 2
Четность и нечетность функции. 2
Условия монотонности функции. 2
Экстремумы функции. 2
Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. 2
Асимптоты.. 2
Список используемой литературы.. 2
Задания
Вариант 1
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. В какой момент времени скорость ее движения будет равна 42 м/с?
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 2
1. Найти производную функции: 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. В какой момент времени скорость ее движения будет равна 190 м/с?
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 3
1. Найти производную функции: 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. Найти скорость ее движения в момент времени 
c.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 4
1. Найти производную функции: 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. Найти скорость ее движения в момент времени 
c.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 5
1. Найти производную функции: 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. По оси 
движутся две материальные точки, законы движения которых имеют вид 
и 
. В какой момент времени их скорости будут равными?
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 6
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. В какой момент времени скорость ее движения будет равна нулю?
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 7
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Тело движется по прямой 
по закону 
. Определить скорость и ускорение движения тела. В какие моменты времени оно меняет направление движения?
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 8
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. Найти скорость ее движения в момент времени 
с.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 9
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Определить угловой коэффициент касательной к кривой 
в точке 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 10
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. В какой точке кривой 
касательная к графику ее функции перпендикулярна прямой 
?
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 11
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Записать уравнение касательной к кривой 
в точке с абсциссой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 12
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Записать уравнение касательной к кривой 
в точке с абсциссой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 13
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Записать уравнение касательной к кривой 
в точке с абсциссой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 14
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Записать уравнение касательной к кривой 
в точке с абсциссой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 15
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Записать уравнение нормали к кривой 
в точке с абсциссой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 16
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Записать уравнение нормали к кривой 
в точке с абсциссой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 17
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Записать уравнение касательной к кривой 
в точке с абсциссой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 18
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Записать уравнение нормали к кривой 
в точке с абсциссой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 19
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Записать уравнение касательной к кривой 
в точке с абсциссой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 20
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Выяснить, в какой точке кривой 
касательная составляет с осью 
угол 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 21
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Выяснить, в какой точке кривой 
касательная составляет с осью 
угол 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 22
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Выяснить, в какой точке кривой 
касательная cоставляет с осью 
угол 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 23
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Выяснить, в какой точке кривой 
касательная составляет с осью 
угол 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 24
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Найти точки на кривой 
, в которых касательные параллельны оси 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 25
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Найти точку на кривой 
, касательная в которой параллельна прямой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 26
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Найти точку на кривой 
, касательная в которой перпендикулярна прямой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 27
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Найти точку на кривой 
, касательная в которой параллельна прямой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 28
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Найти точку на кривой 
, касательная в которой перпендикулярна прямой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 29
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Найти точку на кривой 
, касательная в которой параллельна прямой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 30
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Найти точку на кривой 
, касательная в которой параллельна прямой 
.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 31
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. В какой момент времени скорость ее движения будет равна 2 м/с?
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 32
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. Найти скорость ее движения в момент времени 
с.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 33
1. Найти производную функции 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. Найти скорость ее движения в момент времени 
с.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 34
1. Найти производную функции: 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке 
.
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. Найти скорость ее движения в момент времени 
с.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Вариант 35
1. Найти производную функции: 
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: 
.
3. Найти производную функции 
.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции 
в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид 
. Найти скорость ее движения в момент времени 
с.
6. Исследовать функцию 
и построить эскиз ее графика.
Производная
Определение: Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
. Предел отношения приращения 
функции в этой точке (если он существует) к приращению 
аргумента, когда 
, называется производной функции 
в точке 
:
.
Обозначение: 
, 
, 
.
Определение: Производная 
от функции 
называется производной первого порядка. Производная от функции называется производной второго порядка от функции и обозначается 
. Аналогично определяются производная третьего порядка, обозначаемая 
и т.д. Производная 
-го порядка обозначается 
.
Основные свойства производной
Пусть 
– константа, 
и 
имеют производные в некоторой точке 
. Тогда функции 
, 
, 
и 
, где 
, также имеют производные в этой точке, причем:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Таблица производных
1. 
;
2. 
, где 
;
3. 
, где 
;
4. 
;
5. 
, где , 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. 
;
12. 
;
13. 
;
14. 
.
Теорема 1.Пусть функция 
имеет производную в точке 
, а функция 
имеет производную в точке 
. Тогда сложная функция 
также имеет производную в точке 
, причем:
.
Задача 1. Найти производную функции 
.
Решение: Данная функция является композицией двух функций 
и 
. Так как 
, то с учетом теоремы о производной сложной функции получим:
.
Найдем производную функции , применяя свойство 
производной, получим:
.
Функция 
является композицией двух функций 
и 
. Так как 
и 
, то по теореме о производной сложной функции получим:
.
Функция 
является произведением двух функций. Применяя свойства 
и 
производной, получим:
.
Таким образом, производная функции 
имеет вид:
,
а производная исходной функции:
.