Глава 9.ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ

В этом разделе будем рассматривать в качестве движения среды ламинарное, стационарное течение газа в ограниченной области пространства. В рамках механики сплошной среды, при наличии ламинарного течения всегда можно выделить трубки тока, для которых выполняется уравнение неразрывности среды в виде:

, (9.1)

где: - плотность среды, - скорость течения, - площадь сечения трубки тока. Будем, далее, считать, что среда не обладает вязкостью и в ней проявляются лишь силы давления. В этом случае уравнение движения можно записать в форме:

. (9.2)

По физическому смыслу это уравнение движения «частицы» среды, отнесённое к единице объёма. Здесь является «субстанциональным» ускорением элемента объёма и, поскольку , оно представимо системой уравнений:

. (9.3)

Градиент давления раскрывается соотношением:

. (9.4)

Поясним понятия: ламинарное и стационарное течение. Ламинарное течение является слоистым, не вихревым течением. Для него справедливы соотношения:

Стационарность течения означает отсутствие зависимости от времени параметров среды от времени в заданной (любой) точке пространства. В этом случае следует принять частные производные по времени от параметров среды равными нулю.

С учётом этого систему уравнений следует записать в виде:

(9.5)

Если умножить каждое уравнение этой системы, соответственно, на , учесть соотношения , и провести сложение уравнений, то получим:

. (9.6)

А). Несжимаемая среда и уравнение Бернулли

Для несжимаемой среды . Это соотношение можно считать уравнением состояния среды. Тогда можно записать:

или: . (9.10)

Приведенное уравнение является уравнением Бернулли и, по смыслу, отражает закон сохранения энергии в рамках механики. Т.е. сумма кинетической энергии участка среды и его потенциальной энергии в поле сил давления сохраняется при перемещении по трубке тока. Для описания движения имеем систему уравнений:

, (9.11)

Б). Течение сжимаемой среды идеального газа

В рамках термодинамики, сжимаемость среды определяется термическим уравнением состояния, калорическим уравнением состояния и уравнением процесса деформации среды. Для получения новых уравнений несколько преобразуем уравнение , отразив в нём эффект сжимаемости. Для этого используем соотношение , в котором последнее слагаемое определяет работу деформации единицы массы среды. Согласно первому началу термодинамики эта работа определяет изменение внутренней энергии, так что , и уравнение примет вид:

. (9.12)

Это уравнение можно назвать основным уравнением стационарного ламинарного течения невязкой сжимаемой среды.

Оно отражает закон сохранения энергии (механической и внутренней).

Далее будем рассматривать течение идеального газа. Его термическим уравнением состояния (уравнение Клапейрона – Менделеева):

Калорическое уравнение состояния идеального газа:

Процесс течения принимается как адиабатический процесс .

Уравнение адиабаты:

, или .

Уравнение неразрывности остаётся прежним:

Кроме этого удобно ввести в уравнение удельную энтальпию идеального газа в виде:

. (9.13)

Итак, имеем систему уравнений, способную описать течение идеального газа вдоль трубки тока.

. (9.14)

Полученную систему используем для рассмотрения задачи о течении газа внутри сопла. Эта задача поможет раскрыть физические основы газодинамических лазеров, упомянутых ранее в данном курсе. Соответствующий вид сопла изображен на схеме (рис. 138).

В результаты параметры течения газа зависят только от , т.е. задача носит одномерный характер. В задаче используем два подхода. В первом, на основе дифференциальных соотношений, получим уравнение, которое позволит заключить, что в области минимального сечения , и скорость течения достигает здесь локальной скорости звука . Исходные уравнения приведем к виду:

(9.15)

Из последних двух уравнений исключим , тогда:

, или .

Из уравнения неразрывности находим, что и

. (9.16)

Искомое уравнение не является простым, поскольку локальная скорость звука зависит от температуры и является функцией координаты . Вместе с этим, уравнение позволяет сделать следующие заключения: во-первых, по конструкции сопла, скорость течения на входе мала и «скобка» в уравнении отрицательная. Так как в области сужения сопла , то , т.е. скорость течения возрастает. Во-вторых, в области критического сечения, где , скорость течения достигает местной скорости звука . Далее, по соплу, скорость течения возрастает, газ адиабатически расширяется (уменьшаются давление, плотность и температура). Скорость течения становится сверхзвуковой.

Во втором подходе используем интегральные соотношения, и определим связь параметров в критическом сечении с начальными параметрами.

За исходное примем уравнение:

. (9.17)

По конструкции сопла скорость течения на входе мала, и ее можно принять равной нулю. Используя уравнение состояния, получим:

. (9.18)

Определим мольную теплоёмкость , как и, сделав тождественные преобразования, запишем:

Поскольку и , то можно записать:

После преобразования, с учетом для критического сечения, получим:

. (9.19)

При адиабатическом расширении , так что

. (9.20)

Аналогично находятся соотношения:

и . (9.21)

Приведем, далее, количественную оценку приведенных соотношений для газа с .

; ; . (9.22)

Газодинамические лазеры

Принципиальная схема устройства газодинамического лазера представлена на рис. 139. Обычно вместо одного сопла используют сопловые решетки, которые позволяют создать большей газовый поток с плотностью потока . За соплами располагают открытый резонатор инфракрасного излучения, создающий поток излучения .

Для наглядности представлений о конструкции укажем, что типичные размеры системы следующие: ширина критического сечения сопла 0,2 2 мм, ширина выходного сечения сопла составляет несколько сантиметров. Длина сопла по потоку около4см. Размер резонатора по потоку порядка 60 см, другие размеры определяются сопловой решеткой. Коэффициент прозрачности рабочего зеркала резонатора составляет около 0.1. Мощность электромагнитного излучения газодинамических лазеров достигает десятки и сотни киловатт. Остановимся, далее, на газодинамическом лазере. В этом газовом лазере активной средой, как правило, является смесь молекул , (иногда вместо паров воды используют гелий). Эта смесь, нагретая до достаточно высокой температуры, при высоком давлении на входе в сопло, представляет собой равновесную однородную систему. После прохождения критического сечения сопла, система становится неравновесной. Эта неравновесность является своеобразной. Поясним смысл этого. В молекулярном газе можно выделить ряд времен установления частично равновесного состояния за счет столкновений. Наиболее короткое время - это время установления максвелловского распределения по скоростям. Оно составляет время около десяти столкновений. За это время формируется равномерное (классическое) распределение энергии по поступательным степеням свободы молекул и устанавливается «газовая» температура . Для установления равномерного (классического) распределения энергии по вращательным степеням свободы молекул требуется время нескольких десятков столкновений. Температуру, определяющую среднюю энергию вращательных степеней свободы, можно принять равной газовой температуре. Для многих молекул, в частности, для молекул и , это положение не выполняется. Во-первых, проявляется квантовые особенности. Средняя энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы с частотой , определяется соотношением:

Во-вторых, для каждой колебательной степени свободы (колебательной моды) данной молекулы за нескольких десятков столкновений устанавливается больцмановское распределение. Распределение по квантовым энергетическим уровням со своей температурой . В-третьих, для установления полного равновесного состояния, при котором температуры колебательных мод становятся одинаковыми и равными газовой температуре, необходимо длительное время. В некоторых случаях оно составляет десятки тысяч столкновений. Для дальнейшего рассмотрения напомним схему колебательных мод молекулы .

На схеме указаны движения атомов: а) – в валентной симметричной моде, б) – в валентной асимметричной моде, в деформационной моде (движение в двух взаимно перпендикулярных направлениях).

Кроме этого, приведем, рассмотренную ранее, схему энергетических квантовых уровней. - деформационная мода (дважды вырожденная), - симметричная мода, – асимметричная мода. На схеме изображены лишь нижние уровни, остальные (как у осциллятора) опущены, чтобы не загромождать схему.

Возникновение неравновесности в системе

Сначала следует напомнить, что лазерная газовая смесь до входа в сопло является равновесной. Газовая температура и температуры всех колебательных мод одинаковы . Давление , например, равно 5атм и равно (типичный случай). После прохождения сопла, смесь адиабатно расширяется, значительно падает давление и газовая температура . Колебательные же температуры азота и асимметричной моды углекислого газа меняются по направлению течения очень медленно за счет малой вероятности передачи энергии на поступательные степени свободы. Это отражено на графиках рис.140. На рис. 140 смесь , по данным С.А.Лосев, Газодинамические лазеры, «Наука», М, 1977.

- колебательная температура азота.

- колебательная температура асимметричной моды .

- колебательная температура деформационной и симметричной моды , (они оказываются близкими).

Генерация лазерного излучения

Близкие значения газовой температуры и колебательной температуры порождаются влиянием молекул воды, входящих в состав лазерной смеси. Столкновения молекул с молекулами очень эффективно способствуют быстрому обмену колебательной энергией деформационной и симметричной моды с поступательными степенями молекул. При достаточно большем разрыве и среда становится «активной», способной порождать вынужденные «излучательные» переходы между уровнем и уровнями и молекул . Вместе с этим, «активная» среда способна усиливать электромагнитное излучение, порождаемое этими переходами. Резонатор, с такой активной средой, настроенный на нужную частоту, формирует когерентное излучение. Такое излучение носит название лазерного излучения. Для лазера на это инфракрасное излучение с длинами волн =10,6 мкм (переход ) и =9,6 мкм (переход ).