 |
|
Производная и её применения
Определение 1.Производной функции f в точке х0 называется предел при 
отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.
Обозначается 
, 
, 
, 
, 
.
Таким образом, по определению 1 
.
Определение 2.Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если она в этой точке имеет конечную производную.
Определение 3. Операция нахождения производной функции f(x) в точке или на множестве называется дифференцированием функции f(x).
Определение 4. Дифференциалом независимой переменной х называется ее приращение 
: 
.
Тогда из определения дифференциала 
следует
.
Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х0;f(x0)) (равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох)
Теорема 1.Если функция f дифференцируема в точке х0 (существует конечная производная ), то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .
Замечание.1) Если =0, то касательная к кривой в точке х0 параллельна оси Ох (tg 
=0 
=0).
2) Если =¥ 
tg 
0=¥ 
, то касательная к графику перпендикулярна оси Ох (функция не дифференцируема в точке х0, а касательная существует).
3) Может быть, что не существует , а касательная перпендикулярна оси Ох.
Пример. 
- не дифференцируема в точке х=0. Прямая х=0 (ось Оy) – касательная к графику в точке х0=0.
Уравнение касательной и нормали к графику функции y=f(x)
Пусть f(x) дифференцируема в точке х0. Следовательно, график функции имеет в точке (x0;y0) касательную, угловой коэффициент которой 
. Тогда уравнение касательной имеет вид
.
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции f в точке M0(x0;y0). Т.к. коэффициенты перпендикулярных прямых k1 и k2, связаны соотношением 
, то 
, 
, и, значит, уравнение нормали имеет вид
.
Физический смысл производной
- скорость функции 
в точке х0. Тогда если f описывает некоторый процесс любого характера (механического, биологического, химического и т.д.), то f ¢ - скорость изменения этого процесса в точке х0.