Исследование функций с помощью производной

Теорема 1. Если функция f дифференцируема в точке x₀ и f¢ (x₀)>0 (f¢(x₀)<0), то f возрастает (убывает) в точке x₀.

Теорема 2 (признак постоянства функции). Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Для того, чтобы f(x) была постоянной на [a;b] необходимо и достаточно, чтобы f¢(x)=0 "xÎ(a;b).

Теорема 3 (признак монотонности функции). Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Функция не убывает (не возрастает) на [a;b] Û f¢ (x)³0 (f¢ (x)£0) на (a;b).

Теорема 4. Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Если f¢ (x)>0 (f¢(x)<0), то f возрастает (убывает) на (a;b).

Определение 1.Точка х=х₀ называется точкой максимума функции f, если существует окрестность ÌV(x₀), в пределах которой выполнено неравенство f(x)£f(x₀).

Значение функции в точке x₀называется максимумом функции.

Определение 2.Точка х=х₀ называется точкой минимума функции f, если существует окрестность ÌV(x₀): "xÎ выполнено f(x)³f(x₀).

Значение функции в точке x₀называется минимумом функции.

Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Пусть f(x) определена в V(x₀). Если функция имеет в точке x₀ экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Определение. Пусть f(x) определена в V(x₀). Точка x₀ называется стационарной точкой функции f, если f ¢(x₀)=0. Точка x₀ называется критической точкой функции f, если f ¢(x₀)=0 или не существует.

Теорема 6 (первое достаточное условие экстремума). Пусть f дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, в которой она непрерывна. Пусть f ¢(x) сохраняет знак в отдельности как слева, так и справа от точки x₀, т. е. в интервалах (x₀-d; x₀), (x₀;x₀-d). Если:

1) f ¢(x)>0 при x<x₀ и f ¢(x)<0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого максимума;

2) f ¢(x)<0 при x<x₀ и f ¢(x)>0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого минимума;

3) f ¢(x)>0 или f ¢(x)<0 "xÎV(x₀), то x=x₀ не является точкой экстремума.

Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на <a;b>

Пусть f(x) на <a;b> имеет несколько критических точек. Расположим их в порядке возрастания: a<x₁<x₂<…<x_n<b. Они делят <a;b> на интервалы (а;x₁), (x₁;x₂),…,(x_n;b). В каждом из них f ¢(x₀)¹0, она знакопостоянна (положительна, или отрицательна). Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по теореме 6.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на этом отрезке и, в силу II – й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Если функция имеет наибольшее значение на (a;b), то это – один из максимумов. Но функция может иметь наибольшее значение и на концах отрезка [a;b]. Аналогичные рассуждения – для минимума. Значит, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] надо:

1) найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [a;b];

2) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на <a;b>, если график функции в пределах <a;b> лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема 6. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на <a;b>. Тогда если f ²(x)³0 (f ²(x)£0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на <a;b>.

Определение.Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f(x).

В примере х=0 – точка перегиба.

Теорема 7 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x₀функции f(x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Теорема 8(первое достаточное условие перегиба). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в , где x₀– точка возможного перегиба. Если