Главная | Обратная связь

Примеры решения задач

Расчетное задание № 1

Кинематика, динамика, законы сохранения энергии.

И импульса материальной точки. Элементы теории поля.

Законы вращательного движения твердого тела.

Колебания и волны. Элементы теории относительности.

Основные формулы

 

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x

где f(t) - некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось x

Средняя путевая скорость

где Ds - путь, пройденный точкой за интервал времени Dt. Путь Ds в отличие от разности координат Dx = x₂-x₁не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. Ds ³ 0.

Проекция мгновенной скорости на ось x

Проекция среднего ускорения на ось x

Проекция мгновенного ускорения на ось x

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

 

, r=R-const

Модуль угловой скорости

Модуль углового ускорения

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

где -модуль линейной скорости; и - модули тангенциального и нормального ускорений; w - модуль угловой скорости; e - модуль углового ускорения; R -радиус окружности.

Модуль полного ускорения

или

Угол между полным и нормальным ускорениями

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

.

Второй закон Ньютона

где - результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

где -коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость);

x - абсолютная деформация;

б) сила тяжести

в) сила гравитационного взаимодействия

где - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность гравитационного поля:

г) сила трения (скольжения)

где f - коэффициент трения; N - сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

или для двух тел (i=2)

,

где и - скорости тел в момент времени, принятый за начальный; и - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

, или

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

где - жесткость пружины; x - абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

где - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

 

где g - ускорение свободного падения; h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где

R — радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

 

 

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

x = A cos(wt+j),

где х - смещение; А -амплитуда колебаний; w - угловая или циклическая частота; j - начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

u = -Aw sin(wt+j); a = -Aw² cos(wt+j).

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,

x = A₁ coswt; y = A₂ cos(wt+j);

а) если разность фаз j=0;

б) если разность фаз j=±p;

в) если разность фаз j=±p/2.

Уравнение плоской бегущей волны

где y - смещение любой из точек среды с координатой x в момент t;

u - скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием Dxмежду точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;

где l - длина волны.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

где М_z - результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело; e - угловое ускорение; J_z - момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

где R - радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,

где w - угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

= const,

где J_z - момент инерции системы тел относительно оси z; w - угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или

Релятивистская масса

или

где m_o - масса покоя частицы; u - ее скорость; с - скорость света в вакууме; b - скорость частицы, выраженная в долях скорости света

(b = u/с).

Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

или

где Е_о=m_ос² - энергия покоя частицы.

Полная энергия свободной частицы

Е = Е_о + Т,

где Т - кинетическая энергия релятивистской частицы.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

или

Импульс релятивистской частицы

или

Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct³, где А = 2 м, В = 1 м/с, С = - 0,5 м/с³. Найти координату х, скорость и ускорение точки в момент времени t = 2с.

Решение. Координату xнайдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B и C и времени t:

x = (2 + 1×2 - 0,5×2³)м = 0.

Мгновенная скорость относительно оси хесть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

В момент времени t = 2 с

= (1 - 3×0,5×2²) м/c = - 5 м/c;

= 6(- 0,5) × 2 м/с² = - 6 м/с².

 

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = A + Bt + Ct², где A= 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии г=0,1 м от оси вращения, для момента времени t =4 с.

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис.1):

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

(1)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

где w - модуль угловой скорости тела; e - модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения и в формулу (1), находим

 

 

. (2)

Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости

w = [20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

= 2 C = - 4 рад/с².

Подставляя значения w, e и r в формулу (2), получаем

м/с = 1,65 м/с².

Пример 3. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

(1)

где Т₁ - кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и Т₂ - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения e надо найти u₂. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

(2)

(3)

Решим совместно уравнения (2) и (3):

Подставив это выражение u₂ в формулу (1) и сократив на u₁ и m₁, получим

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

 

Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m= 80г (рис.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁ = 100г и m₂ = 200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Решение: Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

; (1)

для второго груза

(2)

 

Под действием моментов сил и относительно оси z перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

(3)

где - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити и . Воспользовавшись этим подставим в уравнение (3) вместо и выражения и _, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

После сокращения на и перегруппировки членов найдем

(4)

Формула (4) позволяет массы m₁, m₂ и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение - в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим

 

Пример 5. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости u₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,37×10⁶ м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли,пренебречь.

Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,

Т₁ + П₁ = Т₂ + П₂, (1)

где Т₁, П₁ и Т₂, П₂ - кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

Согласно определению кинетической энергии,

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая - убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т₂ станет равной нулю, а потенциальная - достигнет максимального значения:

Подставляя выражения Т₁, П₁, Т₂ и П₂ в (1), получаем

откуда

Заметив, что GM/R²=g (g - ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

что совпадает с выражением для первой космической скорости.

Произведем вычисления:

м/с = 7,9 км/с.

 

Пример 6. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m₁=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой m₂=60 кг. Какую линейную скорость u относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция L_z момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:

const, (1)

где J_z - момент инерции платформы с человеком относительно оси z;

w - угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии а в конечном состоянии .

С учетом этого равенство (1) примет вид

(2)

где значения моментов инерции J₁ и J₂ платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; и - к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J₂ в начальном состоянии (в центре платформы)можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека

Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2pn) и конечной угловой скорости (w^' = u/R, где u - скорость человека относительно пола):

После сокращения на R² и простых преобразований находим скорость

Произведем вычисления:

м/с.

 

Пример 7. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F_max, действующей на частицу.

Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

где w = 2p/Т. Отсюда амплитуда

(1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = -kx, где k - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении x_max, равном амплитуде:

F_max = kA. (2)

Коэффициент k выразим через период колебаний:

k = mw² = m×4p²/T². (3)

Подставив выражения (1) и (3) и (2) и произведя упрощения, получим

Произведем вычисления:

0,045 м = 45 мм;

 

Пример 8.Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями

где А₁ = 3 см, А₂ = 2 см, t₁ = 1/6 с, t₂ = 1/3 с, Т = 2 с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме

х = A cos(wt+j), получим

Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту

.

Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны

Произведем вычисления:

с^-1;

 

Изобразим векторы А₁ и А₂. Для этого отложим отрезки длиной А₁ = 3 см и А₂ = 2 см под углами j₁ = 30^о и j₂ = 60^о к оси 0х. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой w и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд А₁ и А₂:А = А₁ + А₂. Согласно теореме косинусов:

Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 3):

 

 

Произведем вычисления:

см = 4,84 см;

или j = 0,735 рад.

Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде

где А = 4,84 см, w = 3,14 с^-1, j = 0,735 рад.