Здавалка
Главная | Обратная связь

Примеры решения задач



ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

 

Раздел 1. Термодинамика

 

Термодинамика- феноменологическая теория. Она изучает явления и свойства

макроскопических тел, связанные с превращением энергии и не рассматривает их внутреннее строение. Термодинамика изучает превращение энергии не только в тепловых процессах, но и в электрических, химических, магнитных и других.

Термодинамика как физическая теория построена по методу принципов. В её основе лежат начала.

Основные понятия и законы термодинамики.

Термодинамическая система. Термодинамической системой называется тело или совокупность тел, обменивающихся энергией между собой и с внешними телами. Если обмена с внешними телами нет, то система называется изолированной. Например, можно считать изолированной системой воздух, который находится в аудитории, где закрыты все окна и двери.

Состояние термодинамической системы определяется рядом параметров, например.

температура, давление, объём, плотность, вязкость и т.д. Состояние системы может быть равновесным и неравновесным. Состояние термодинамической системы называется равновесным, если при отсутствии внешних воздействий с течением времени все параметры остаются неизменными. Изолированная термодинамическая система с течением времени всегда приходит в равновесное состояние.

Термодинамическим процессомназывается переход термодинамической системы из равновесного состояния в другое равновесное состояние под влиянием внешнего воздействия.

Уравнения, устанавливающие взаимосвязь термодинамических параметров системы, могут быть записаны только для состояния термодинамического равновесия. Графически можно изобразить только равновесное ( квазистатическое) состояние и равновесный ( квазистатический) процесс.

Идеальный газ -система, характеризуемая внешним параметром (объём) и внутренними параметрами (температура и давление) или идеальный газ- газ, у которого при изотермическом процессе ( постоянная температура ) давление обратно пропорционально объёму при постоянной массе.

 

Уравнение состояния идеального газа(уравнение Клапейрона - Менделеева ):

,

где m - масса газа. p, V, T - параметры равновесного состояния, R - универсальная газовая постоянная. R = 8,31 Дж/(моль · К); - молярная масса этого газа.

Название процесса Постоянная величина Уравнение
Изотермический Т - const pV = const (закон Бойля – Мариотта)
Изохорный V - const = const (закон Шарля)
Изобарный р - const (закон Гей-Люссака)

 

Температура - внутренний параметр состояния термодинамической системы. Характеризует состояние теплового равновесия системы.

Удельная теплоёмкость вещества- величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1К: с = .

Молярная теплоёмкость- величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 К: , где - количество вещества, выражающее число молей.

 

Удельная теплоёмкость связана с молярной соотношением: Cm = c*µ.

 

Уравнение Майера:Cp = Cv + R,

где Cp - молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении, Cv - молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме.

 

Число степеней свободы ( i )- число независимых координат полностью определяющих положение системы в пространстве. Для одноатомного идеального газа положение молекулы однозначно определяется 3 -мя координатами и число степеней свободы рано 3. Для двухатомного газа число степеней свободы равно 5.

Cv = i*R/2.

Внутренняя энергия- функция состояния системы, однозначно определяемая параметрами состояния. Внутренняя энергия всегда отлична от нуля, даже при температуре абсолютного нуля. Внутренняя энергия пропорциональна температуре

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы:для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия равная kT/2 , а на каждую колебательную степень свободы - в среднем энергия, равная kT.

Внутренняя энергия для случая одноатомного идеального газа может быть вычислена по формуле: .

Первое начало термодинамики -количество теплоты, сообщаемое системе, расходуется на изменение её внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил Q = ∆U + A.

Круговым процессом ( циклом )называется процесс, при котором система пройдя через ряд состояний возвращается в исходное.

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении. Если, процесс идёт сначала в прямом, а потом в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений.

Приведённым количеством теплотыназывается отношение количества теплоты Q , полученной телом в изотермическом процессе к температуре T теплоотдающего тела.

Энтропией Sназывается функция состояние, дифференциалом которой является отношение σQ / T.

Для обратимых процессов ∆S = 0

Для необратимых процессов ∆S > 0

Энтропия замкнутой системы может либо возрастать, либо оставаться постоянной.

Неравенство Клаузиуса ∆S ≥ 0.

 

Термодинамическая вероятность состояния системы W - число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы.

S = k ln W,

где k – постоянная Больцмана.

 

Второе начало термодинамики- любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.

Третье начало термодинамики (теорема Нернста - Планка) –энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения температуры к нулю Кельвина.

limS = 0

T→ 0

Формулы для вычисления характеристик изолированной термодинамической системы в равновесном состоянии для различных частных случаев представлены в табл. 3.

 

Таблица 3

Параметр Изохорный процесс процесс Изотермический процесс Изобарный процесс Адиабатный процесс
р p - const
V V - const
Т Т = const
Q Q = А’ Q = 0
А А’ = 0 А’ = 0 A’ = p ΔV А’ = - ΔU

 

Примеры решения задач

З а д а ч а 1. Резиновый мяч содержит 4 л воздуха, находящегося при температуре 20 єС при атмосферном давлении 780 мм рт. ст. Какой объем займет воздух, если мяч будет опущен в воду на глубину 10 м? Температура воды 4 єС.

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и : по условию задачи рассматривается воздух в двух состояниях: на поверхности воды и на глубине h. Обозначим параметры состояния в каждом случае.

Решение:

Запишем уравнения состояния для каждого случая, учитывая, что масса воздуха в шаре остается постоянной. Получим систему уравнений

 

Разделим второе уравнение на первое и выразим искомый объем

 

Д а н о :   V0 = 4 л = 4 • 10-3 м3 T0 = (20 + 273) K hрт = 780 мм рт. ст. hв = 10 м T1 = (4 + 273) K   V1 = ? В воде на глубине h давление будет складываться из атмосферного у поверхности воды и давления столба воды высотой h Получим формулу для объема Атмосферное давление дано по условию в мм рт. ст. Для перевода его в паскали записываем формулу . Окончательная формула Вычисления дают результат V1 = 1,96л.  

О т в е т : V1 = 1,96 л.

 

 

З а д а ч а 2. Идеальный газ находится в цилиндрическом сосуде под поршнем. Поместив на поршень груз массой m, его объем изотермически уменьшили в n раз. Какой массы груз следует добавить, чтобы объем газа изотермически уменьшили еще в k раз?

А н а л и з з а д а ч и : По условию задачи рассматриваются три состояния газа. Введем обозначения параметров:

 

1 2 3

V1/n, T1 V1/nk, T1

 

Рис. 8

 

Д а н о : Р е ш е н и е
Т = const     mx = ? Запишем уравнения Бойля - Мариотта для перехода из 1-го состояния во 2-е и для перехода из 1-го состояния в 3-е. Получим систему: Давление газа увеличивается с давления p1 в 1-м состоянии благодаря воздействию груза. На газ действует вес груза. Изменение давления, вызванное действием груза во 2-м состоянии, может быть вычислено по формуле

,

где S - площадь поршня.

Тогда давление со стороны груза в 3-м состоянии . Подставляя значения изменений давления в систему, сокращая обе части уравнений на V1, получаем:

Раскрываем скобки, переносим выражения, содержащие p1, в левую часть системы:

Делим 1-е уравнение на 2-е:

 

Преобразуем левую часть уравнения:

.

Получаем уравнение

.

Делим обе части уравнения на k, используем свойство пропорции, переносим выражения, содержащие неизвестные, в левую часть, а все остальные – в правую. Получаем

.

Окончательная формула: .

О т в е т : .

 

З а д а ч а 3 . Два сосуда с объемами V1 = 40 л и V2 = 20 л содержат газ при одинаковой температуре, но разных давлениях. После соединения сосудов в них устанавливается давление р = 1 МПа. Каково начальное давление р1 в большем сосуде, если в меньшем оно было равно р2 = 600 кПа? Температура не изменяется.

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и . Процесс соединения сосудов с газом - изотермический. Обозначим параметры состояний. Рассматриваются три состояния. Используется один и тот же газ, молярная масса в обоих сосудах одинаковая, а массы – разные.

1-е состояние 2-е состояние 3-е состояние

 

V1 p1 T V2 p2 T (V1+V2) p T

 

m1, m2, (m1 + m2),

 

Д а н о : Р е ш е н и е
V1 = 40 л = 4•10-2 м3 V2 = 20 л = 4•10-2 м3 р = 1 МПа Записываем уравнение Менделеева - Клапейрона для каждого состояния. Получаем систему:
р2 = 600 кПа T = const p1 = ?

Выразим из первых двух уравнений массы и подставим их значения в третье уравнение:

p ( V1 + V2 ) = .

Преобразуя это выражение, получаем:

 

p (V1 + V2) = p1V1 + p2V2 ,

откуда

р1 = .

О т в е т : р1 = .

 

З а д а ч а 4. С какой скоростью летела свинцовая пуля, если при ударе о стенку она расплавилась наполовину? Температура пули до удара Т1 = 400 К, во внутреннюю энергию превращается 80 % её кинетической энергии. Удельная теплоемкость свинца с = 130 , удельная теплота плавления свинца λ = 2,4·104 Дж/кг, температура плавления Т2 = 600 K.

 

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и : здесь часть кинетической энергии пули в момент удара превращается во внутреннюю энергию пули и часть во внутреннюю энергию стенки. По условию задачи во внутреннюю энергию пули превращается η ее кинетической энергии. Значит, по закону сохранения энергии η · WK = ΔU. Мерой изменения внутренней энергии пули будет количество теплоты Q1, израсходованное на нагревание всей пули от температуры Т1 до Т2, и количество теплоты Q2, израсходованное на плавление половины пули. Поэтому ΔU = Q1 + Q2.

 

 

Д а н о : Р е ш е н и е
Т1 = 400 К η = 0,8 с = 130 λ = 2,4·104 Дж/кг Т2 = 600 К   v - ? Количество теплоты, израсходованное на нагревание пули Q1 = m1 c (T2 - T1). Количество теплоты, израсходованное на плавление части пули Q2 = m2 λ = . Кинетическая энергия пули в момент удара Wк= . Тогда имеем . Отсюда, после сокращения на m1    

О т в е т : v = 308 м/с.

З а д а ч а 5. Для изобарного нагревания газа, количество вещества которого 800 моль, на 500 К ему сообщили количество теплоты 9,4 МДж. Определить работу газа и приращение его внутренней энергии.

 

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и : задача может быть решена на основе первого начала термодинамики двумя способами: сначала следует найти работу газа, а затем – изменение внутренней энергии, или наоборот. Рассмотрим решение задачи обоими способами одновременно:

 

Д а н о : Р е ш е н и е
  ν = 800 моль ΔТ = 500К Q = 9,4 МДж p - const     А= ? ΔU = ? 1-й способ 2-й способ
Q = ΔU + A
A’ = p ΔV = ν R ΔT ΔU = Q - A’   Δ A’ = Q - ΔU
В ы ч и с л е н и я :
A’ = 800 ∙ 8,31 ∙ 500 = = 33,24 ∙ 105 = = 3,324 (МДж); ΔU = 6,076 МДж. ΔU = ∙ 800 ∙ 8,31 ∙ 500 = = 49,86 ∙ 105 = = 4,986 (МДж); А’ = 4,414 МДж.

О т в е т : А' = 3,324 МДж; ΔU = 6,076 МДж.








©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.