Теорема синусов и косинусов.

Элементы векторной алгебры

В теоретической механике рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие.

Понятие вектора.

Для определенности рассматриваем прямоугольную декартову систему координат.

Вектор - это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением.

Операции над векторами. Вектора можно складывать и умножать на число.

- сумма двух векторов есть вектор

- произведение вектора на действительное число есть вектор

- существует нулевой вектор

Рис.1

В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе.

В сумме двух векторов (рис.1,а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора. Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис.1,б) получаем, что суммой нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.

Операции над векторами подчиняются следующим законам (см. рис.2):

Рис.2

Проекции и направляющие косинусы вектора.

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону (см. рис.6).

Рис.6

Направляющими косинусами , , вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.

Любая точка пространства с координатами (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором

Координаты (x, y, z) это проекции вектора на оси координат.

Теорема синусов и косинусов.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — противолежащие углы (соответственно),
R — радиус описанной окружности.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a² = b² + c² — 2bc · cos α