ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
ЗАДАЧА1
Определить аналитическим и графическим способами усилия в стержнях АВ и ВС заданной стержневой системы.
ПРИМЕР 1
Определить аналитическим и графическим способами в стержнях АВ и ВС заданной стержневой системы (рисунок 1). Дано: F1 = 28 кН; F2 = 42 кН; α1=450;α 2=600; α3=300.
Определить: усилия
Рисунок -1
РЕШЕНИЕ 1 Аналитическое решение 1 Рассматриваем равновесие точки В, в которой сходятся все стержни и внешние силы (рисунок 1). 2 Отбрасываем связи АВ и ВС, заменяя их усилиями в стержнях . Направления усилий примем от угла В, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке В (рисунок 2).
3 Выбираем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпадала с неизвестным усилием, например, с А. Обозначаем на схеме углы, образованные действующими силами с осью Х и составляем углы, образованные действующими силами с осью Х и составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил: ; F2cos 750+F1cos 450+Sccos 750-SА=0 (1); ; F2cos 150-F1cos 450-Sccos 150=0 (2).
Рисунок - 2
Из уравнения (2) находим усилие Sс:
Подставляем числовые значения:
Найденное значение Sс подставляем в уравнение (1) и находим из него значение SА:
SА= 42*0,259+28*0,707+21,51*0,259=36,24 кН.
Окончательно SA =36,24 кН, Sс=21,51 кН; знаки указывают, что оба стержня растянуты.
2 Графическое решение Выбираем масштаб сил , тогда силы будут откладываться отрезками ; . Из произвольно выбранной точки 0 откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы . Из конца этого отрезка откладываем отрезок . Так как условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника, то из начала отрезка откладываем линию, параллельную вектору , а из конца отрезка откладываем линию, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рисунок 3).
Рисунок - 3
Измеряя отрезки и и, умножая их на масштаб находим значения SА и SС:
;
.
Вычислим допущенную при графическом способе решения ошибку:
(Ошибка находится в пределах 2%).
Ответ: а) аналитическое решение:
б) графическое решение: ЗАДАЧА 2 Для двухопорной балки определить реакции опор
ПРИМЕР 2 Определить реакции опор двухопорной балки (рисунок - 4)
Дано: F1=24 кН; F2=36 кН; m1=18 кНм; m2=24 кНм; ℓ1=2,0 м; ℓ2=3,0 м; ℓ3=3,0 м
Определить реакции опор RАУ и RВУ
Рисунок - 4
Решение: 1 Обозначаем опоры буквами А и В. Отбрасываем связи (опоры А и В), заменяем их действие реакциями. Так как задана параллельная система сил, то реакции в опорах будут только вертикальные А и В. Выбираем систему координат ХУ с началом в левой опоре и чертим расчетную схему балки (рисунок 5)
Рисунок - 5
2 Для полученной плоской параллельной системы сил составляем уравнение равновесия: F1*2.0+m1+F2*3.0-m2-Rву*0,6=0 (3) F1*8,0+m1+RАУ*6.0-F2*3.0-m2=0 (4) 3 Решаем систему уравнений. Из уравнения (3) находим RВУ:
Rву =
Из уравнения (4) находим RАУ:
4 Для проверки правильности решения составим сумму протекций всех сил на ось У то есть реакции определены верно. ЗАДАЧА 3
Для заданных сечений, состоящих из прокатных профилей и полосы b×h, определить положение центра тяжести.
ПРИМЕР 3. Определить координаты центра тяжести сечения. Сечение состоит из двутавра № 18, швеллера № 18 и пластины 200*60 (рисунок-6)
Рисунок - 6
1 Разобьем сечение на профили проката. Оно состоит из двутавра № 18, швеллера № 18 и пластины 200*60. обозначим их 1, 2, 3. 2 Укажем центры тяжести каждого профиля, используя таблицу приложения, и обозначим их С1, С2, С3, проведем через них оси Х1, Х2, Х3. 3 Выберем систему координатных осей. Ось Y совместим с осью симметрии, а ось Х проведем через центр тяжести двутавра. 4 Определим центр тяжести всего сечения. Так как ось Y совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, потому Хс=0. Координату Yс определим по формуле:
Пользуясь таблицами ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89, ГОСТ 8510-86, ГОСТ 8509-86, определим координаты центров тяжести А1 = 20,7 см2 7,57 см А2 = 23,4 см2 y2 = 0 А3 = 20*6 = 120 см2 -12 см Координата у2 равна нулю, так как ось Х проходит через центр тяжести двутавра. Подставим полученные значения в формулу для определения уС: -7,82 см 1 Укажем центр тяжести сечения на рисунке и обозначим его буквой С. Покажем расстояние уС = -7,82 см от оси Х до точки С. 2 Определим расстояние между точками С и С1, С и С2, С и С3, обозначим их а1, а2, а3: а1 = у1 + уС = 7,57 + 7,82 = 15,39 см а2 = уС = 7,82 см а1 = у3 - уС = 12 - 7,82 = 4,18 см 3 Выполним проверку. Для этого ось Х проведем по нижнему краю пластины. Ось Y оставим, как в первом решении. Формулы для определения хС и уС не изменятся: хС = 0, Площади профилей останутся такими же, а координаты центров тяжести двутавра, швеллера и пластины изменятся. А1 = 20,7 см2 22,57 см А2 = 23,4 см2 15 см А3 = 20*6 = 120 см2 3 см Находим координату центра тяжести: 7,18 см По найденным координатам хС и уС наносим на рисунок точку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Сумма координат уС, найденных при первом и втором решении: 7,82 + 7,18 = 15 см Это равно расстоянию между осями Х при первом и втором решении: 18/2 + 6 = 15 см.
ЗАДАЧА 4 По оси ступенчатого бруса приложены силы и . Необходимо построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить абсолютную деформацию бруса. Принять Е = 2,1 * 105 МПа.
ПРИМЕР 4 Для данного ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса (рисунок 7)
Дано: , , м, м, м, А=3,2 см 2, Е=2,1*105 МПа
Рисунок - 7
Решение 1 Проводим ось Z в сторону свободного конца бруса и определяем реакцию заделки :
2 Разбиваем брус на участки, границы которых определяются сечениями, где изменяется площадь поперечного сечения или приложены внешние силы. На каждом из участков проводим характерные сечения 1-1, 2-2, 3-3. С помощью метода сечений определяем продольные силы на каждом из участков бруса: мысленно рассекаем брус в пределах первого участка сечения 1-1, отбрасываем верхнюю часть бруса и заменяем ее действие продольной силой N1 (рисунок 7) для оставшейся части составляем уравнение равновесия:
Аналогично находим N2 и N3:
сечение 2-2 (рисунок 7) ;
сечение 3-3 (рисунок 7)
.
По найденным значениям продольной силы строим соответствующую эпюру. Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нулевую) линию. Левее ее откладываем отрицательные значения N, соответствующие сжатому участку, а правее – положительные значения N, соответствующие растянутому участку (рисунок - 7). Определяем нормальные напряжения в характерных сечениях бруса по формуле:
;
.
Строим соответствующую найденным значениям эпюру σ (рисунок - 7) 4 Определяем абсолютное удлинение бруса. В соответствии с законом Гука:
где Е=2,1*105 МПа – модуль продольной упругости для стали.
Складывая удлинение участков, получим:
Учитывая, что I м=103мм, будем иметь:
(87,5*2,4+43,75*2,2-112,5*2,0)=0,39 мм. Таким образом, абсолютное удлинение бруса = 0,39 мм. ЗАДАЧА 5 По данным задачи 2 для двухопорной балки построить эпоры поперечных сил Qу и изгибающих моментов Мх. Подобрать сечение стального двутавра, приняв [σ] = 160 МПа.
ПРИМЕР 5 Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Подобрать сечение стального двутавра, приняв [σ] = 160 МПа.
Дано: F1=24 kH; F2=36 кН; m1=18 кНм; m2=24 кНм; =2.0 м; м; м.
Рисунок - 8
Решение 1 Составляем уравнение равновесия параллельной системы сил, из которых определяем опорные реакции балки:
Из уравнения (6) находим RAУ:
Из уравнения (5) находим В:
Проверяем правильность определения опорных реакций, составляя сумму проекций всех сил на ось У:
то есть реакции определены верно.
2 Определяем значения поперечной силы Q в характерных сечениях балки, которые обозначим цифрами 1, 2, 3, 4 (рисунок 8 а)
Q1=Q2лев=F1=24 кН; Q2прав=Q3лев=F1+RАУ=24-13=11 кН; Q32прав=Q4=F1+RАУ-F2= -RВУ= -25 кН.
По найденным значениям строим эпюру, поперечных сил Q (рисунок 8 б).
3 Аналогично определяем значения изгибающего момента М в характерных сечениях балки: М1=0; М2лев=F1*2.0=48 кНм М2прав=М2лев+m1=48+18=66 кНм; М3=F1*5.0+m1+RАУ*3,0=120+18-39=99 кНм; М4=m2=24 кНм.
По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов М (рисунок 8 в).
4 По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение). В нашем случае – это сечение 3, где М3=Мmaх=99 кНм. Из условия прочности балки на изгиб вычисляем необходимый осевой момент сопротивления: .
В соответствии с ГОСТ 8239-89 принимаем сечение из стального двутавра № 33 с Wх=597 см3. Имеем перенапряжение:
что находится в разрешенных пределах (менее 5%).
Ответ: сечение балки двутавр № 33. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|