Главная | Обратная связь

Составление системы канонических уравнений

Число канонических уравнений равно числу введенных связей в заданной системе, каждое из которых имеет смысл уравнения равновесия, отражающих отсутствие реакции во вновь введенной связи в основной системе, так как в заданной системе этой связи не существует.

На основании принципа суперпозиции, из основной системы выделяются грузовое состояние (ГС) и единичные состояния (ЕС). В каждом состоянии от соответствующих воздействий во вновь введенных связях возникают реакции, которые являются коэффициентами канонических уравнений.

Если деформация заданной системы зависит от одного перемещения: углового или линейного (рис. 5 , 6), то каноническое уравнение имеет вид

R₁ = r₁₁ Z₁+R_1p= 0. (2)

Это условие эквивалентности заданной и основной систем называется каноническим уравнением потому, что его вид одинаков для любой один раз кинематически неопределимой системы.

Для задачи на рис. 5 - Z₁ -угол поворота фиктивной заделки, r₁₁ - момент фиктивной заделки в единичном состоянии, где воздействием является единичный угол поворота; R_1p - момент фиктивной заделки в грузовом состоянии от внешней нагрузки. Если единичный угол поворота увеличить в Z₁ раз, то момент заделки r₁₁ увеличивается тоже в Z₁ раз. Необходимо подобрать величину угла поворота Z₁ так, чтобы суммарная реакция от нагрузки R_1pи r₁₁ Z₁ в основном состоянии была равна нулю(R₁=0), так как в действительности в заданной системефиктивной заделки не существует.

Для задачи на рис. 6 - Z₁ – неизвестное линейное перемещение введенной горизонтальной опоры, r₁₁ – ее реакция в единичном состоянии, где воздействием является единичное горизонтальное смещение опоры; R_1p – реакция во введенной опоре от внешней нагрузки.

Если деформированное состояние заданной системы описывается двумя неизвестными перемещениями (для задачи на рис. 7), то составляется два уравнения равновесия.

R₁ = r₁₁ Z₁ + r₁₂ Z₂ + R_1p= 0, (3)

R₂ = r₂₁ Z₁ + r₂₂ Z₂ + R_2p= 0.

Для трех неизвестных канонические уравнения имеют вид (рис. 2)

В общем случае – реакции в i– ой связи в j – ом – единичном состоянии; -реакции в i– ой связи в грузовом состоянии.

Рис. 2

В единичных состояниях воздействиями являются единичные перемещения введенных связей. В первом и втором единичных состояниях – это поворот фиктивной заделки на единичный угол, в третьем – единичное смещение горизонтальной опоры