Часть 2. «Математические методы»

Задание 1

В сборочный цех поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает m% , брака второй - n%, третий - k%.

Определить вероятность попадания на сборку не бракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно, а деталей с первого автомата, b - со второго, с - с третьего.

Вариант	m	n	k	a	b	c

	1,5
	3,5	1,5

	2,5	2,5
	1,5
			1,5

	2,5
	3,5	3,5
		1,5

		1,5
		1,5
	3,5	1,5
	3,5		1,5
		3,5	1,5
	1,5
		3,5
			3,5
		1,5
			1,5

	2,5

Задание 2

1. Имеются две одинаковые урны. В первой - семь белых шаров и три черных, а во второй - шесть белых и четыре черных. Наудачу выбирается урна и из нее наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что шар оказался белым?

2. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находится 4 белых и 6 черных шаров, во второй - белые и в третьей - только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный?

3. В сборной по гимнастике 24 % мастеров спорта , 40 % кандидатов в мастера и 36 % перворазрядников. Вероятность того, что мастер спорта или кандидат в мастера выполнит упражнения на “ отлично “, равна 0,9. Для перворазрядника эта вероятность равна 0, 6. Определить вероятность того, что член команды, подошедший к снаряду, выполнит упражнение на “отлично”.

4. Первый цех изготовил 50 лампочек, второй - 30, третий - 20. Вероятность того, что лампочка стандартная, для первого цеха равна 0,8, для второго - 0,7 и для третьего - 0,9. Из партии наугад взята одна лампочка. Определить вероятность того, что она стандартная.

5. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводом N1, 20 деталей - заводом N 2 и 18 - заводом N 3 . Вероятность того, что деталь, изготовленная заводами N1, N2, N3 , отличного качества и соответственно равна 0,9; 0,6 ; 0,9. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из ящика деталь отличного качества.

6. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К, 30 % с заболеванием В, 20 % с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7 для болезней В и С эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что наудачу взятый больной будет полностью излечен.

7. Один из трех охотников стреляет по волку. Вероятность попадания для каждого из них соответственно равна 0,2; 0,4; 0,6 . Найти вероятность того, что пуля попадет в волка.

8. В правом кармане имеются три монеты по 20 коп. и четыре - по 3 коп., а в левом - шесть монет по 20 коп. и три - по 3 коп. Из правого кармана наудачу перекладывают пять монет в левый карман. Определить вероятность того, что после этого произвольная монета, вынутая из левого кармана, будет двадцати копеечная.

9. Из 10 шаров первой урны - 8 белых, а из 20 шаров второй урны - 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару, а из них наудачу берут один. Найти вероятность того, что взят белый шар.

10. Для контроля за качеством продукции из трех партий деталей взято для проверки одна деталь. Как велика вероятность обнаружения брака, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других - все детали стандартные.

11. Прибор может работать в двух режимах - нормальном и перегрузочном. Нормальный режим наблюдается в 80 % времени, а перегрузочный в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя в нормальном режиме равна 0,1, а при перегрузке - 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя.

12. В тире имеется три ружья, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет наугад одно из ружей ?

13. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, а из винтовки без такого прицела - 0,7. Из наудачу взятой винтовки произведен выстрел. Какова вероятность попадания ?

14. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами. Первый завод поставляет 2/3 всех приборов, поступающих на производство, а второй - 1/3. Вероятность безотказной работы (надежность) прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,93; второго - 0,87. Определить надежность (вероятность безотказной работы ) прибора, поступающего на производство.

15. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя, если выбрана она наугад.

16. В маршрутном такси едут три пассажира. Каждый, из которых на следующей остановке может выйти с вероятностью 0,7; кроме того, в такси с вероятностью 0,4 не входит ни один новый пассажир. Найти вероятность того, что, когда такси снова тронется в путь после остановки, в нем по-прежнему будет три пассажира.

17. В первой коробке из 20 карандашей - 15 красных; во второй из 30 карандашей - 24 красных, а в третьей из 10 карандашей - 6 красных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный карандаш из наудачу выбранной коробки - красный.

18. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1 и 2 коробки деталей, изготовленных заводом №2 . Вероятность того, что деталь завода №1 - стандартна, равна 0,8, а для завода №2 - 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу выбранной коробки. Найти вероятность того, что извлеченная деталь стандартная.

19. Имеются две урны. В первой - 6 белых и 4 черных; во второй 8 белых и 12 черных; из первой урны наугад перекладывают один шар во вторую. После этого из второй урны наугад извлекают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

20. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго - 0,03, для третьего - 0,04. Обрабатываемые детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего - в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

21. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника - 0,9; для велосипедиста - 0,8; для бегуна - 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму по своему виду спорта.

22. В телеателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, равна 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок.

23. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй - 0,2 % и третий - 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго - 2000 и с третьего - 2500 деталей.

24. В студенческой группе из 30 человек 20 занимаются лыжным спортом, 6 - легкой атлетикой и 4 - гимнастикой. Вероятность выполнить норму первого разряда такова: для лыжников - 0,9; для легкоатлетов - 0,8; для гимнастов - 0,75. Найти вероятность того, что студент, выбранный наудачу, выполнит норму первого разряда по своему виду спорта.

25. В первом ящике содержится 12 радиоламп, из них одна - нестандартная; во втором - 10 радиоламп, из которых также одна нестандартная. Из первого во второй ящик наугад перекладывают одну лампу, после чего из второго извлекают одну лампу. Найти вероятность того, что она нестандартна.

Задание 3

1. В группе 10 юношей, которые играют, набрасывая кольца на колышек. Для пяти из них вероятность попадания кольца на колышек равна 0,6, для трех - 0,5 и для остальных - 0,3.

Кольцо, брошенное одним из юношей попало на колышек. Какова вероятность того, что это кольцо было брошено юношей из первой группы ?

2. В одной студенческой группе обучаются 24 студента, во второй - 36 и в третьей - 40 студентов. По математическому анализу получили отличные оценки 6 студентов первой группы, 6 студентов второй группы и 4 студента третьей группы. Наугад выбранный студент получил по математическому анализу оценку “ отлично “. Какова вероятность того, что он учится в первой группе ?

3. Преподаватель экзаменует незнакомую ему группу по экзаменационным билетам, содержащим по три вопроса. Он знает, что в предыдущую сессию в этой группе было 27 успевающих, из них 6 отличников, и трое в группе не успевало. Преподаватель считает, что отличники ответят на все три вопроса с вероятностью 80 % , остальные успевающие студенты - с вероятностью 60 % и неуспевающие с вероятностью 20 %. Вызванный студент ответил на все три вопроса билета. Какова вероятность того, что он из второй группы ( успевающий, но не отличник ) ?

4. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 человек подготовили ответ на все вопросы, 8 - на 25 вопросов, 5 - на 20 вопросов и двое - на 15. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найти вероятность того, что этот студент подготовил все вопросы.

5. Имеются три одинаковые урны. В первой находится 4 белых и 6 черных шаров, во второй - 7 белых и 3 черных и в третьей только черные. Шар, извлеченный наудачу из наудачу выбранной урны, оказался черным. Какова вероятность того, что шар извлечен из первой урны ?

6. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в 9 находятся по 2 черных шара и по 2 белых шара, а в одной - 5 белых и 1 черный шар. Из наугад взятой урны извлечен шар, оказавшийся белым. Чему равна вероятность, что он извлечен из урны содержащей 5 белых шаров ?

7. Из урны, где находится 10 белых и 5 черных шаров, наугад перекладывают один шар во вторую урну, где находятся 3 белых и 6 черных шаров. После этого наугад из второй урны извлекают один шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что из первой урны переложен белый шар.

8. Из трех команд - “Спартак”, “Динамо”, ”ЦСКА” - занимающих в турнирной таблице вторые места, каждая может попасть в финал с равной вероятностью и завоевать там первое место с вероятностями, соответственно равными 0,7; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что попала в финал и заняла первое место команда “ЦСКА”.

9. В рационе пеликанов, чаек и гагар, содержащихся в зоопарке, рыба занимает соответственно 70 %, 80 % и 90 %. Найти вероятность того, что в данное время служитель зоопарка кормит рыбой чайку, если в вольере содержится 10 пеликанов, 4 чайки и 8 гагар.

10. Из 20 девочек и 10 мальчиков, обучающихся в классе, не выполнили домашнего задания 4 девочки и 3 мальчика. Наудачу вызванный ученик не выполнил задание. Какова вероятность того, что вызван был мальчик ?

11. Продукция первой фабрики составляет 20 % поступления, второй - 46 %, третьей - 34 %. Средний процент нестандартных изделий для первой, второй и третьей фабрик составляет соответственно 3, 2 и 1. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие принадлежит первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

12. Две перфораторщицы набрали на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица.

13. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Найти вероятность того, что изделие проверял второй товаровед.

14. Из 6 нападающих и 4 защитников в данный момент один человек находится на скамейке штрафников. Найти вероятность того, что это защитник, если вероятность попасть на скамейку штрафников для защитника равна 0,8 а для нападающего - 0,6.

15. Один из двух охотников стреляет по цели и попадает в нее. Вероятность попадания в цель для первого охотника равна 0,2 , для второго - 0,6 . Чему равна вероятность того, что стрелял первый охотник ?

16. В оной урне 3 белых и 4 черных шара, а во второй 5 белых и 3 черных. Из первой и второй урн наудачу берут по одному шару и помещают в третью пустую урну. Найти вероятность того, что наугад извлеченный белый шар из третьей урны попал в нее из первой урны.

17. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков соответственно равны 4/5 ,3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

18. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что вепрь был убит третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6.

19. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 - с вероятностью 0,7; 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. Найти вероятность того, что он принадлежал ко второй группе.

20. Некто, заблудившийся в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог равны соответственно 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из леса через час.

21. На трех отделениях факультета повышения квалификации ( ФПК ) занимаются 100 человек. Из них к кафедрам математического анализа, методики преподавания математики, алгебры прикреплены соответственно 28, 40 и 32 человека. Вероятность того, что кто -то из слушателей ФПК будет назначен ответственным дежурным для прикрепленных к кафедрам математического анализа, методики преподавания математики и алгебры, различна и равна соответственно 0,2; 0,3; 0,4. Один из слушателей ФПК заступил на дежурство. Найти вероятность того, что он прикреплен к кафедре методики преподавания математики.

22. В скачках участвуют 7 лошадей кабардинской и 5 орловской породы. Вероятность того, что к финишу придет скакун кабардинской породы, равна 0,89, а для орловской породы эта вероятность равна 0,78. Найти вероятность того, что первым пересек линию финиша скакун кабардинской породы.

23. Пять студентов - любителей музыки, два юноши и три девушки - слушают концерт. Вероятность того, что очередному исполнителю одна из девушек преподнесет цветы равна 0,5. Для юношей эта вероятность равна 0,3. Найти вероятность того, что букет цветов после очередного исполнения преподнес юноша. ( Вместе цветы не преподносят).

24. Первый прибор регистрирует некоторое излучение с вероятностью 0,72. Если первый прибор не сработает, то включается второй, который зарегистрирует излучение с вероятностью 0,88. Найти вероятность того, что второй прибор зарегистрирует излучение.

25. В одной из урн 7 белых и 3 черных шара, а во второй - 4 белых и 5 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывается один шар, а затем из второй урны извлечен один шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар принадлежит первой урне.

Задание 4

1. В магазин вошло 8 покупателей. Найти вероятность того, что 3 из них совершат покупку, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,3.

2. Радиотелеграфная станция принимает цифровой текст. В силу наличия помех вероятность ошибочного приема любой цифры не изменяется в течение времени приема и равна 0,2. Найти вероятность того, что в тексте из 6 цифр будет не более одной ошибки.

3. В семье 10 детей. Считая вероятности рождения девочки и мальчика равными, определить вероятность того, что в семье ровно 5 девочек.

4. Вероятность встречи космической ракеты в течение месяца с метеоритом данной массы равна 0,1. Найти вероятность того, что за четыре месяца полета метеорит такой массы встретится не более одного раза.

5. Найти В вероятность того, что один из двух равносильных противников выиграет 4 партии 6, если ничьи во внимание не принимаются.

6. Орнитологи для изучения миграции птиц пользуются их кольцеванием. Для данной породы птиц вероятность отлова для кольцевания составляет 6 % от всех пойманных. Найти вероятность того, что среди пяти пойманных птиц будет не менее четырех, принадлежащих к данной породе.

7. Найти вероятность того, что из 7 деталей 4 успешно пройдут испытания, если для каждой из них вероятность равна 0,6.

8. Вероятность того, что в туристической поездке можно встретить человека, с которым уже приходилось путешествовать, равна 0,2. Найти вероятность того, что из четырех поездок не более чем в одной можно встретить человека, с которым путешествовали раньше.

9. Вероятность выигрыша по одному билету школьной лотереи равна 0,2. Какова вероятность того, что из 6 приобретенных билетов 2 окажутся выигрышными ?

10. В коллекции одного филателиста марки, изготовленные на фольге, занимают 8 % всех марок. Найти вероятность того, что при произвольном филателистском обмене четырех марок на фольге окажется не менее трех.

11. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек равна 0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках три кольца окажутся на колышках ?

12. 80 % кроссвордов, встречающихся в журналах последних лет, обращаются к математической тематике. Найти вероятность того, что не более, чем в двух из пяти последних журналов встретятся кроссворды с математической тематикой.

13. Вероятность нормальной работы в полете каждого из четырех одинаковых двигателей равна 0,9. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в работе в одном двигателе.

14. Среди множества рыб, находящихся в аквариуме, 90 % имеют яркую окраску. Найти вероятность того, что из шести проплывающих мимо рыб менее двух будут ярко окрашены.

15. Вероятность отказа каждого прибора при испытаниях равна 0,4. Найти вероятность отказа двух приборов из четырех, если приборы испытываются независимо друг от друга.

16. При ловле рыбы на спиннинг вероятность поймать рыбу весом более 1 кг равна 0,4. Найти вероятность того, что из трех пойманных рыб хотя бы одна была весом более 1 кг.

17. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи произвольно взятых перерасхода электроэнергии не будет.

18. Ватерполист производит по воротам противника четыре штрафных броска. Определить вероятность того, что при этом мяч побывает в воротах не менее трех раз, если вероятность забросить мяч при родном броске равна 0,4.

19. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны наугад достается один шар, отмечается его цвет и вновь бросается в урну. Опыт повторяется четыре раза. Найти вероятность того, что два раза будет вытащен белый шар.

20. Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

21. Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос приведено пять ответов , один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан не менее, чем на три вопроса.

22. В каждом из четырех списков на профсоюзную конференцию включено 7 девушек и 3 юноши. Из каждого списка наудачу записывают по одной фамилии для общего голосования. Найти вероятность того, что в общий список будут включены ровно две девушки.

23. В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.

24. В урне 5 шаров: 2 белых и 3 черных. Из урны четыре раза с возвратом

извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что при этом черный шар появится только один раз.

25. По воротам противника судья присудил пробить четыре штрафных мяча. Найти вероятность того, что ровно три мяча попадают в ворота, если вероятность попадания для каждого мяча равна 0,9.

Задание 5

Вероятность того, что наудачу взятое из изготовленной на фабрике партии первосортное пальто равна p. Отбираются первые попавшиеся m пальто.

1. Найти закон распределения количества первосортных пальто среди отобранных и построить ряд распределения.

2. Определить числовые характеристики: (X), (X), (X).

Вариант	p	m	Вариант	p	m
	0,9			0,6
	0,75			0,95
	0,5			2/3
	0,75			0,85
	2/3			0,75
	0,5			2/3
	0,9			0,65
	0,8			0,6
	2/3			0,25
	0,5			1/3
	0,9			0,8
	0,7			0,8
	0,8			0,7
	0,7			0,6
	0,6			0,65

Часть 2. «Математические методы»

Задание 1

а) Решить задачу линейного программирования графическим и симплексным методом.

б) Составить для данной задачи линейного программирования двойственную задачу и по решению прямой задачи найти решение двойственной, используя теоремы двойственности.

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.

Задание 2

На базах имеется однородный груз в количестве тонн. Этот груз требуется перевезти в пункты , имеющие потребности тонн. Расстояние между пунктами отправления и пунктами назначения заданы матрицей расстояний .

Стоимость перевозки пропорциональна количеству груза и расстоянию, на которое этот груз перевозится.

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной (ввиду пропорциональности затрат количеству груза и расстоянию, для решения задачи достаточно минимизировть общий объём плана, выраженный в тонно-километрах).

Задачу решить методом потенциалов, первоначальный опорный план составить методом северо-западного угла.

1. .