 |
|
Интегрирование функций
Типовой расчет по теме «функциональные ряды».
Пример 1. Найти область сходимости ряда
Решение. К этому ряду формула (4.39) неприменима, так как отсутствуют четные степени переменной 
, т.е. 
, 
, 2, 3, 
Применяем непосредственно признак Даламбера:
.
Данный ряд сходится для 
, или 
, т.е. 
, следовательно, 
. Проверим сходимость на концах интервала. При 
получаем ряды
,т.е. 
, которые, очевидно, расходятся.
Следовательно, областью сходимости будет 
.
Пример 2. Найти область сходимости ряда
Решение. По формуле (4.40) имеем
,
т.е. 
, ряд сходится в интервале 
. Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При 
получаем числовой ряд
,
который исследуем с помощью необходимого признака сходимости рядов. Имеем
,т.е. общий член ряда не стремится к нулю и ряд расходится. При 
получаем числовой ряд
, который по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов расходится, т.к. не выполняется условие 
.
Итак, окончательно имеем: областью сходимости будет промежуток .
Пример 3. Найти радиус сходимости ряда
Решение. К этому ряду неприменима формула (4.39), так как отсутствуют нечетные степени переменной , т.е. 
, 
Применяем непосредственно признак Даламбера:
,
при любом x, т.е. ряд сходится на всей числовой прямой.
Задача1
Исследовать сходимость следующих степенных рядов. Найти их области сходимости.
1.01 
; 
. 1.02 
; 
. 1.03 
; 
.
1.04 
; 
.1.05 
; 
. 1.06 
; 
.
1.07 
; 
.1.08 
; 
.1.09 
; 
.
1.10 
; 
. 1.11 
; 
1.12 
; 
.
1.13 
; 
.1.14 
;1.15 
; 
.
1.16 
; 
. 1.17 
; 
. 1.18 
; 
.
1.19 
; 
. 1.20 
; 
1.21 
; 
.
1.22 
; 
.1.23 
; 
. 1.24 
;
Примеры практического применения
степенных рядов
.1.25 
; .
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1.Вычисление значений функций
Пример1.Вычислить число 
, т.е. значение функции 
при 
, с точностью до 0,001 (если известно, что 
).
Решение. Имеем
Тогда
,
причем абсолютная погрешность этого приближения равна
, где 
. При получаем 
.
При этом 
, где 
,
но так как 
, то 
.
Число 
определим из равенства 
. Откуда 
, т.е. 
. Если взять 
, то 
. Возьмем 
, 
.
Следовательно,
.
Интегрирование функций
Пример 2. При изучении теории вероятности важную
роль играет функция 
,
называемая функцией Лапласа, или интегралом вероятностей. Вычислить интеграл непосредственным интегрированием нельзя, так как 
не выражается через элементарные функции.
Заменяя в разложении (1) на 
, получаем
Это разложение, как и разложение для , имеет место на всей числовой оси, поэтому его можно почленно интегрировать, т.е.
Тогда
,
сходящимся на всей числовой прямой оси. Вычислить значение функции 
очень просто, так как ряд быстро сходится.