Здавалка
Главная | Обратная связь

Дополнительные операции.



Разностью векторов и называется вектор, равный .

Частным от деления вектора на число ( ), называется вектор, равный .

Три ненулевых вектора называются компланарными, если будучи отложенными от одной точки, оказываются лежащими в одной плоскости. (Нулевой вектор компланарен с любыми двумя векторами).

Линейной комбинацией векторов называется выражение вида , где коэффициенты — действительные числа.

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и нетривиальной в противном случае.

Набор векторов называется линейно зависимым, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, и линейно независимым в противном случае.

Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство необходимости. Дано: векторы и линейно зависимы. Требуется доказать, что они коллинеар­ны. Так как векторы и линейно зависимы, то существуют числа и , не равные нулю одновременно, и такие, что . Пусть, например, , тогда ; отсюда следует, что векторы и коллинеарны.

Доказательство достаточности. Дано: векторы и коллинеарны. Требуется доказать, что они линейно зависимы.

Если , то имеет место равенство , а это означает, что векторы и линейно зависимы ( ).

Если же , то, беря в соответствии с определением произведения вектора на число, находим , или , значит векторы и линейно зависимы.ڤ

Теорема. Для того чтобы три векторабыли ли­нейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были ком­планарны.

Доказательство необходимости. Дано: векторы , , линейно зависимы. Требуется доказать, что они компланарны.

Так как векторы , , линейно зависимы, то существуют числа , , , среди которых есть хотя бы одно, не равное нулю, такие, что . Пусть, например, , тогда .

Векторы и коллинеарны соответственно векторам и ; очевидно, сумма таких векторов, то есть вектор будет компланарен с векторами и .

Доказательство достаточности. Дано: векторы , , компланарны. Требуется доказать, что эти векторы линей­но зависимы.

Если векторы и коллинеарны, то они линейно зависимы (теорема выше), т. е. найдутся числа и , из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что , но тогда и , т. е. векторы , , линейно зависимы. Пусть векторы и неколлинеарны. Отложим векторы , , от одной и той же точки О: , , . Так как векторы , , компланарны, то точки лежат в одной плоскости. Спроектируем точку на прямую параллельно прямой ; пусть Р—эта проекция. Тогда и так как и , и , то беря и в соответствии с определением произведения вектора на число, находим , , так что , то есть векторы , , линейно зависимы. ڤ

Теорема. Всякие четыре вектора в простран­стве линейно зависимы.

Доказательство. Если векторы , , компланарны, то они линейно зависимы (теорема выше), т. е. найдутся числа , , , из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что , но тогда и , т. е. векторы , , , линейно зависимы. Пусть векторы , , некомпланарны. Отложим все векторы , , , от одной и той же точки О: , , , . Пусть Р —проекция точки на плоскость параллельно прямой , а Q — проекция точки Р на прямую параллель­но прямой . Тогда . Векторы соответственно коллинеарны векторам , , . Беря , и в соответствии с определением произведения вектора на число, находим , , , так что , то есть векторы , , , линейно зависимы. ڤ

Базисом называется максимальный набор линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке.

Из доказанных теорем следует, что базисом на плоскости является упорядоченная пара неколлинеарных векторов , лежащих в этой плоскости, а базисом в пространстве является упорядоченная тройка некомпланарных векторов .

Если вектор разложен по базису , то есть , то числа называются координатами вектора в базисе .

Теорема. Всякий вектор в пространстве может быть и при том единственным образом разложен по базису в этом пространстве.

Доказательство существования разложения. Пусть есть вектор и базис . Так как всякие четыре вектора в простран­стве линейно зависимы, то найдутся числа , , , , из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что . Если =0, то , где хотя бы одно из чисел , , не равно нулю. Следовательно, линейно зависимы, что противоречит определению базиса. То есть . Тогда — разложение вектора по базису .

Доказательство единственности разложения. Пусть есть два разложения и . Тогда . Следовательно, получаем, что . Так как — базис, то векторы линейно независимы, то есть , , . Значит, , , , и разложение единственно. ڤ

Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно, поэтому если нам каким-то способом удалось их определить, то можно быть уверенными, что и любым другим способом получится тот же самый результат. При этом, конечно, если мы сменим базис, то координаты вектора, вообще говоря, изменятся.

Пусть даны два направленных отрезка и с общим началом. Углом между ними назовем угловую величину наименьшего из плоских углов, образованных лучами ОА и ОВ, если и . Если же хотя бы один из этих напра­вленных отрезков нулевой, то угол между ними не определяется.

Углом между двумя векторами называется угол между изображающими их направленными отрезками, отложен­ными от одной точки пространства. (Обратите внимание на разницу между понятиями угла между прямыми и угла между векторами: угол между прямыми не может быть тупым, в то время как угол между векторами — может.)

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен 900.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.