Дополнительные операции.
Разностью векторов и называется вектор, равный . Частным от деления вектора на число ( ), называется вектор, равный . Три ненулевых вектора называются компланарными, если будучи отложенными от одной точки, оказываются лежащими в одной плоскости. (Нулевой вектор компланарен с любыми двумя векторами). Линейной комбинацией векторов называется выражение вида , где коэффициенты — действительные числа. Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и нетривиальной в противном случае. Набор векторов называется линейно зависимым, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, и линейно независимым в противном случае. Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны. Доказательство необходимости. Дано: векторы и линейно зависимы. Требуется доказать, что они коллинеарны. Так как векторы и линейно зависимы, то существуют числа и , не равные нулю одновременно, и такие, что . Пусть, например, , тогда ; отсюда следует, что векторы и коллинеарны. Доказательство достаточности. Дано: векторы и коллинеарны. Требуется доказать, что они линейно зависимы. Если , то имеет место равенство , а это означает, что векторы и линейно зависимы ( ). Если же , то, беря в соответствии с определением произведения вектора на число, находим , или , значит векторы и линейно зависимы.ڤ Теорема. Для того чтобы три векторабыли линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Доказательство необходимости. Дано: векторы , , линейно зависимы. Требуется доказать, что они компланарны. Так как векторы , , линейно зависимы, то существуют числа , , , среди которых есть хотя бы одно, не равное нулю, такие, что . Пусть, например, , тогда . Векторы и коллинеарны соответственно векторам и ; очевидно, сумма таких векторов, то есть вектор будет компланарен с векторами и . Доказательство достаточности. Дано: векторы , , компланарны. Требуется доказать, что эти векторы линейно зависимы. Если векторы и коллинеарны, то они линейно зависимы (теорема выше), т. е. найдутся числа и , из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что , но тогда и , т. е. векторы , , линейно зависимы. Пусть векторы и неколлинеарны. Отложим векторы , , от одной и той же точки О: , , . Так как векторы , , компланарны, то точки лежат в одной плоскости. Спроектируем точку на прямую параллельно прямой ; пусть Р—эта проекция. Тогда и так как и , и , то беря и в соответствии с определением произведения вектора на число, находим , , так что , то есть векторы , , линейно зависимы. ڤ Теорема. Всякие четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Доказательство. Если векторы , , компланарны, то они линейно зависимы (теорема выше), т. е. найдутся числа , , , из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что , но тогда и , т. е. векторы , , , линейно зависимы. Пусть векторы , , некомпланарны. Отложим все векторы , , , от одной и той же точки О: , , , . Пусть Р —проекция точки на плоскость параллельно прямой , а Q — проекция точки Р на прямую параллельно прямой . Тогда . Векторы соответственно коллинеарны векторам , , . Беря , и в соответствии с определением произведения вектора на число, находим , , , так что , то есть векторы , , , линейно зависимы. ڤ Базисом называется максимальный набор линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке. Из доказанных теорем следует, что базисом на плоскости является упорядоченная пара неколлинеарных векторов , лежащих в этой плоскости, а базисом в пространстве является упорядоченная тройка некомпланарных векторов . Если вектор разложен по базису , то есть , то числа называются координатами вектора в базисе . Теорема. Всякий вектор в пространстве может быть и при том единственным образом разложен по базису в этом пространстве. Доказательство существования разложения. Пусть есть вектор и базис . Так как всякие четыре вектора в пространстве линейно зависимы, то найдутся числа , , , , из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что . Если =0, то , где хотя бы одно из чисел , , не равно нулю. Следовательно, линейно зависимы, что противоречит определению базиса. То есть . Тогда — разложение вектора по базису . Доказательство единственности разложения. Пусть есть два разложения и . Тогда . Следовательно, получаем, что . Так как — базис, то векторы линейно независимы, то есть , , . Значит, , , , и разложение единственно. ڤ Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно, поэтому если нам каким-то способом удалось их определить, то можно быть уверенными, что и любым другим способом получится тот же самый результат. При этом, конечно, если мы сменим базис, то координаты вектора, вообще говоря, изменятся. Пусть даны два направленных отрезка и с общим началом. Углом между ними назовем угловую величину наименьшего из плоских углов, образованных лучами ОА и ОВ, если и . Если же хотя бы один из этих направленных отрезков нулевой, то угол между ними не определяется. Углом между двумя векторами называется угол между изображающими их направленными отрезками, отложенными от одной точки пространства. (Обратите внимание на разницу между понятиями угла между прямыми и угла между векторами: угол между прямыми не может быть тупым, в то время как угол между векторами — может.) Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен 900. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|