 |
|
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Теорема. Прямая, проходящая через точку 
под углом 
к положительному направлению оси 
( 
) имеет уравнение 
, где 
– угловой коэффициент.
Доказательство. Пусть 
– произвольная точка прямой. Рассмотрим случай 
(другой случай рассматривается аналогично). Так как прямые ( 
) и (ОХ)параллельны, то 
. Тогда 
. Следовательно, .ڤ
Следствие. Если 
, то есть 
, то уравнение прямой, проходящей через эту точку под углом к положительному направлению оси ( ) имеет уравнение 
, где – угловой коэффициент.
Доказательство. Подставим в выведенное уравнение прямой координаты точки 
: 
. Тогда .ڤ
Замечание. Если 
, то уравнение прямой, проходящей через точку , очевидно, имеет вид 
.
Теорема. Прямая, проходящая через две точки 
и 
( 
, ) имеет уравнение 
.
Доказательство. Пусть – произвольная точка прямой. Рассмотрим случай (другой случай рассматривается аналогично). Легко видеть, что 
~ 
(по двум углам). Тогда 
, то есть .ڤ
Теорема. Уравнение вида 
, где 
, есть уравнение прямой, и обратно, любая прямая может быть задана уравнением такого вида.
Доказательство. Пусть дано уравнение , и пусть 
. Тогда это уравнение можно привести к виду 
, то есть к виду , про который доказано, что он задает прямую, пересекающую ось OY в точке и проходящую под углом ( ) к положительному направлению оси . Если В = 0, то 
. Тогда уравнение можно привести к виду 
, то есть к виду уравнения прямой, пересекающей ось OХ в точке 
и проходящей под углом к положительному направлению оси . Обратно, пусть есть невертикальная прямая. Тогда она имеет уравнение вида . Это уравнение можно привести к виду 
, то есть к виду . Если прямая вертикальная, то ее уравнение можно привести к виду 
, то есть к виду .ڤ
Теорема. Пусть есть две прямые, уравнения которых 
и 
. Тогда угол между ними (острый) можно получить из формулы 
.
Доказательство. Так как внешний угол 
треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то 
, или 
. Если 
– острый, то 
. Если – тупой, то 
( 
). Тогда по определению модуля, по формуле разности тангенсов и определению 
и 
имеем 
= 
= 
.ڤ
Следствие. Пусть есть две прямые, уравнения которых и . Тогда они параллельны, если 
, и перпендикулярны, если 
.