Главная | Обратная связь

Области и запасы устойчивости

Областью устойчивости называется замкнутая или незамкну­тая область в пространстве варьируемых параметров, каждой точ­ке которой соответствует устойчивое состояние системы.

Cуществует специальный метод построения области устойчивости, известный как метод D-разби­ения.

Основные понятия и процедура применения метода D-разбиения заключаются в следующем:

1) Условно областью D(m) называют такую область в простран­стве варьируемых параметров, каждой точке которой соответству­ет m правых корней характеристического уравнения A(s) = 0.

2) Областью устойчивости согласно общему подходу обознача­ется D(0), причем эту область нельзя найти, не построив всех ос­тальных областей (недостаток метода).

3) Граница D-разбиения отделяет D-области друг от друга. Она является отображением мнимой оси плоскости корней в простран­стве варьируемых параметров. Это означает, что каждой точке гра­ницы D-разбиения соответствует характеристическое уравнение, имеющее один или несколько (обычно 2) корней на мнимой оси.

4) Для границы D-разбиения осуществляется штриховка по определенным правилам. Эта штриховка позволяет определить область с наибольшим числом левых корней в характеристичес­ком уравнении. Такая область называется областью-претендентом на область устойчивости. Переход через границу D-разбиения с заштрихованной стороны на незаштрихованную сопровождается переходом корней характеристического уравнения из левой полу­плоскости в правую в количестве, равном кратности штриховки (одинарная или двойная). Поэтому область-претендент должна быть со всех сторон окружена заштрихованными сторонами гра­ницы.

5) Для любой точки области-претендента производится провер­ка системы на устойчивость по любому известному критерию. Если результат проверки положительный, то область-претендент является искомой областью устойчивости, в противном случае области устойчивости не существует в плоскости варьируемых параметров.

Запасы устойчивости - это величины, которые количественно характеризуют удаление устойчивой системы от границы ее ус­тойчивости. Эти запасы определяются по критерию Найквиста и бывают двух видов.

1. Запас устойчивости по усилению ΔА характеризует удаление АФХ от опасной точки при частоте (рис. 1).

рис. 1.

 

По физическому смыслу он показывает, насколько должно увеличиться усиление на данной частоте, чтобы система оказалась на границе устойчивости. При использовании ЛЧХ вместо запаса по усилению на той же частоте определяется запас устойчивости по модулю ΔL = -L( ) (рис. 2). Обычно ΔL = (10 + 14) дБ. Зная ΔL,

рис. 2.

можно найти исходя из того, что на величину ΔL следует под­нять ЛАЧХ для выхода системы на границу устойчивости:

20 lg = 20×lgK + ΔL.

Отсюда следует, что = К×

2. Запас устойчивости по фазе γ= 180° - |φ (ω_с)| определяется при частоте среза ω_с и по физическому смыслу показывает, на­сколько должно увеличиться запаздывание по фазе разомкнутой САР на этой частоте, чтобы замкнутая система вышла на грани­цу устойчивости (см. рис. 2). Этот запас можно определить и по АФХ, если с центром в начале координат провести окружность единичного радиуса и определить ее точку пересечения с АФХ (см. рис. 2). Для практики обычно достаточен запас γ = (10 + 30)°.