Здавалка
Главная | Обратная связь

Словарь – СПРАВОЧНИК ОСНОВНЫХ терминов
<



©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МАТРИЦА Прямоугольная таблица чисел (элементов матрицы), расположенных в строки и столбцы. Если матрица содержит строк и столбцов, то таблица называется матрицей размерностью . Матрицы записывают в виде , обозначая через ее элемент, находящийся в -й строке и -м столбце матрицы, в котором стоит элемент . В некоторых случаях размерность матрицы указывают в ее названии: . Иногда для матриц используют обозначение . Матрица, у которой число строк равно числу столбцов , называется квадратной матрицей -го порядка. Элементы квадратной матрицы, для которых , называют диагональными, а диагональ матрицы, на которой они находятся, - главной диагональю матрицы.
ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы нулевые.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (детерминант) -го порядка Число, которое ставится в соответствие квадратной матрице -го порядка. Это число обозначается , , и вычисляется по определенному закону. Например, определитель второго порядка вычисляется по правилу: .
МИНОР элемента определителя -го порядка Определитель -го порядка, получаемый из исходного определителя путем вычеркивания из него -й строки и -го столбца. Обозначается обычно
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ элемента определителя -го порядка Минор этого элемента, взятый со знаком . Обозначение: .
НЕВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА Квадратная матрица с ненулевым определителем.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА к квадратной матрице Матрица , для которой справедливо равенство , где - единичная матрица. Обратная матрица существует только для невырожденных матриц.
МИНОР k-го порядка матрицы Определитель, который состоит из элементов матрицы, расположенных на пересечении ее строк и столбцов.
РАНГ МАТРИЦЫ Наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.
УРАВНЕНИЕ Равенство, в котором одна или несколько букв считаются (называются) неизвестными.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ Уравнение, содержащее неизвестные (переменные) только в первой степени. Например, уравнение является линейным уравнением с неизвестными , ,…. .
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Совокупность нескольких линейных уравнений относительно одних и тех же неизвестных. Систему линейных уравнений с неизвестными можно записать в виде Таблица коэффициентов при неизвестных называется матрицей системы, столбец — столбцом неизвестных, а столбец — столбцом свободных членов. Если , то определитель матрицы системы называется определителем системы.
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА Формулы, позволяющие найти решение (единственное) системы линейных уравнений с неизвестными в случае, если определитель этой системы отличен от нуля. Решение такой системы по формулам Крамера имеет вид: ; ;…… , где - определитель системы, а - вспомогательные определители, которые получаются из определителя заменой столбца из коэффициентов при столбцом свободных членов.
МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Представление системы линейных уравнений с неизвестными в виде матричного уравнения , где - матрица системы; - столбец неизвестных; - столбец свободных членов. Если и матрица - невырожденная, то решение системы линейных уравнений определяется по формуле , где - обратная матрица. (Матричный метод решения системы линейных уравнений).
МЕТОД ГАУССА Метод решения системы линейных уравнений с неизвестными, основанный на элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы уравнений (т.е. матрицы системы, к которой присоединен столбец свободных членов). Элементарными преобразованиями в расширенной матрице называются преобразования, которые не меняют множество решений системы. Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений, который позволяет определить множество всех решений системы (если они есть), либо устанавливает их отсутствие (несовместная система уравнений).
ТЕОРЕМА Математическое предложение, истинность которого устанавливается или опровергается при помощи доказательства.
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ Теорема, выражающая необходимое и достаточное условие решения системы линейных уравнений с неизвестными. Теорема Кронекера – Капели формулируется так: для того, чтобы система линейных уравнений с неизвестными имела хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
СКАЛЯРНАЯ ВЕЛИЧИНА (скаляр) Величина, которая характеризуется только числовым значением.
ВЕКТОРНАЯ ВЕЛИЧИНА (вектор) Величина, которая характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Если выбрать единицу длины, то векторные величины можно изображать геометрическими векторами. Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек (начало и конец вектора). На чертеже вектор изображается отрезком прямой, на котором отмечено направление. Обозначение: , или (где точка - начало вектора, а точка – конец вектора).
НУЛЕВОЙ ВЕКТОР Вектор, у которого начало и конец совпадают. Обозначение: .
ДЛИНА (МОДУЛЬ) ВЕКТОРА Расстояние между началом и концом вектора. Обозначение: .
ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР (ОРТ) Вектор, длина которого равна единице.
ЛИНЕЙНОЕ (ВЕКТОРНОЕ) ПРОСТРАНСТВО Множество называется линейным (векторным) пространством, а его элементы – векторами, если в нем определены действия:
  1. для любых двух элементов и определена сумма ;
  2. для любого элемента и любого действительного числа определено произведение ,
удовлетворяющие следующему условию линейности: для любых двух элементов и и любых двух действительных чисел и элемент . При этом выражение называют линейной комбинацией векторов и с коэффициентами и .
ОСЬ Прямая, на которой установлено положительное направление. Любая ось вполне определяется заданием соответствующего единичного вектора (см. рис.).
 
 


ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ НА ОСЬ Основание перпендикуляра, опущенного из точки на данную ось.
ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ Проекцией вектора на ось называется алгебраическая величина отрезка (см. рис.), где и - проекции точек и на данную ось (т.е. длина отрезка , взятая со знаком плюс, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус – если эти направления противоположны). Обозначение: .  

 

Если - угол между вектором и осью , то проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла :

.

 
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА Координатами вектора относительно прямоугольной декартовой системы координат называются проекции , , вектора на взаимно перпендикулярные координатные оси: ось (ось абсцисс), ось (ось ординат), ось (ось аппликат). Обозначение: .   Если , , - орты координатных осей , , , то вектор можно представить в виде .
РАДИУС-ВЕКТОР точки Вектор , идущий от начала координат (точка ) к данной точке .
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ Система векторов , ,…, называется линейно зависимой, если существуют такие числа , ,…, , не равные нулю одновременно, что имеет место равенство:   .   В противном случае система векторов , ,…, называется линейно независимой.   Выражение называется линейной комбинацией векторов , ,…, .
БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА Линейно независимая система векторов , ,…, линейного пространства образует базис, если любые векторов линейного пространства линейно зависимы. Количество векторов в базисе линейного пространства называется его размерностью. Обозначение: ( - мерное линейное пространство).
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарность векторов и обозначают так: . Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (сонаправленные векторы) и противоположные направления (противоположно направленные векторы).
РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ Сонаправленные векторы с одинаковыми длинами. Обозначение: .  
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ Противоположно направленные векторы с одинаковыми длинами. Обозначение: вектор, противоположный вектору , обозначается через .
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ВЕКТОРЫ Векторы, угол между которыми (после приведения их к общему началу) равен .
УСЛОВИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ двух векторов и Для того, чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их одноименные координаты были пропорциональны. Например, для векторов и условие коллинеарности имеет вид: . Условие коллинеарности двух векторов также можно записать в виде: , где .
КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Векторы, лежащие в одной или в параллельных плоскостях.
ТРОЙКА ВЕКТОРОВ Любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Обозначение:
ПРАВАЯ (ЛЕВАЯ) ТРОЙКА ВЕКТОРОВ Тройка некомпланарных векторов называется правой (имеющей правую ориентацию), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору происходит против часовой стрелки, если смотреть из конца третьего вектора . Если же кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит по часовой стрелке, то тройка некомпланарных векторов называется левой (имеющей левую ориентацию).
БАЗИС на плоскости Любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке. Например, орты и координатных осей и образуют базис на плоскости.
БАЗИС в пространстве Любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Например, орты , и координатных осей , и образуют базис в пространстве.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ Если на плоскости (или в пространстве) выбран базис, то любой вектор этой плоскости (пространства) можно представить, и притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса. Если , , - базис и вектор , то числа называют координатами вектора в данном базисе, а представление вектора в виде - разложением вектора по данному базису.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух векторов и Число, равное произведению длин (модулей) векторов и на косинус угла между ними. Обозначение: , где , - длины (модули) векторов; - угол между векторами и . Если векторы и заданы своими прямоугольными декартовыми координатами (в прямоугольном декартовом базисе ) : , , то их скалярное произведение можно вычислить как сумму произведений одноименных координат: .  
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух векторов и Вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
  1. длина вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними: ;
  2. вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и : , ;
  3. векторы , и составляют правую тройку: - правая тройка.
Обозначение: , или . Если векторы и заданы своими прямоугольными декартовыми координатами (в прямоугольном декартовом базисе ) : , , то их векторное произведение можно вычислить с помощью определителя: .  
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ трех векторов , и Число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение (или скалярное произведение вектора на вектор ). Обозначение: . Если векторы , и заданы своими прямоугольными декартовыми координатами (в прямоугольном декартовом базисе ): , , , то их смешанное произведение можно вычислить с помощью определителя: .  
УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ двух векторов и Для того, чтобы два ненулевых вектора и были ортогональны , необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю: . На плоскости и в пространстве ортогональность совпадает с перпендикулярностью векторов.
УСЛОВИЕ КОМПЛАНАРНОСТИ трех векторов , и Для того, чтобы три вектора , и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю:   .   Условие компланарности трех векторов также можно записать в виде: , где хотя бы одно из чисел не равно нулю.  
  АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
МЕТОД КООРДИНАТ Метод решения геометрических задач, в котором ведущую роль играют вычисления (действия с координатами), а построения имеют вспомогательное значение.  
-МЕРНОЕ ЭВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО -мерное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение. Обозначение: .   Например, ¨ координатная плоскость с базисом является двумерным эвклидовым пространством ; ¨ координатное пространство с базисом является трехмерным эвклидовым пространством .
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ точки на плоскости Два числа, определяющие положение этой точки относительно некоторой фиксированной точки , называемой полюсом, и некоторого фиксированного луча , называемого полярной осью (см. рис).     Обозначение: , где первая координата (полярный радиус) равна расстоянию от точки до полюса ( ), а вторая координата (полярный угол) - угол, образуемый отрезком с полярной осью .  
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ на плоскости (в пространстве ) Уравнение, связывающее координаты любой точки («текущей точки»), лежащей на этой линии. Уравнение линии можно представить в виде равенства , которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии, и только они (т.е. координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют уравнению этой линии).  
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ на плоскости Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению первой степени:   (общее уравнение прямой на плоскости), где хотя бы одно из чисел и не равно нулю ( т.е. ).   Коэффициенты и общего уравнения прямой являются координатами ее нормального вектора , который перпендикулярен данной прямой.   Кроме общего уравнения, прямая на плоскости может быть задана и другими уравнениями, например:   , где - угловой коэффициент прямой ( , - угол, образуемый прямой с положительным направлением оси ); - отрезок, отсекаемый прямой на оси .  
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ на плоскости Тангенс угла между двумя прямыми: , определяется формулой , которая дает угол , на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельной второй прямой.
УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ на плоскости Условием параллельности двух прямых: , является равенство их угловых коэффициентов:   ,   т.е. прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, и не параллельны, если их угловые коэффициенты не равны.
УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ на плоскости Условием перпендикулярности двух прямых: , является соотношение:   .  
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ на плоскости Длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Расстояние от точки до прямой определяется формулой   .
ЛИНИЯ (КРИВАЯ) ВТОРОГО ПОРЯДКА на плоскости Линия, которая определяется уравнением второй степени относительно текущих координат : , где хотя бы одно из чисел , и не равно нулю.   При соответствующем выборе системы координат уравнение линии второго порядка можно привести к простейшему (каноническому) виду.
ОКРУЖНОСТЬ Множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиус окружности) от данной точки (центра окружности). Если - радиус окружности, а точка - ее центр, то уравнение окружности имеет вид: .
ЭЛЛИПС Множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначаемая через ), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами (которое обозначают через ). Если провести оси координат так, что ось проходит через фокусы ( и ) эллипса, а ось - посередине между фокусами и перпендикулярно оси (см. рис), то уравнение эллипса можно записать в простейшем (каноническом) виде:   ,  

где - большая полуось эллипса, - малая полуось эллипса, причем , и связаны соотношением . Координаты фокусов эллипса в этом случае имеют вид: и .
ГИПЕРБОЛА Множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначаемая через ), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами (которое обозначают через ). Если провести оси координат так, что ось проходит через фокусы ( и ) гиперболы, а ось - посередине между фокусами и перпендикулярно оси (см. рис.), то уравнение гиперболы можно записать в простейшем (каноническом) виде:   ,    
где - действительная полуось гиперболы, - мнимая полуось гиперболы, причем , и связаны соотношением . Координаты фокусов гиперболы в этом случае имеют вид: и .

(Пунктирные прямые на рис. – асимптоты гиперболы).
ПАРАБОЛА Множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой директрисой параболы. Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка , то уравнение параболы имеет вид . Эта парабола расположена симметрично оси (см. рис).     Уравнение является уравнением параболы, расположенной симметрично оси .  
  АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПЛОСКОСТЬ в пространстве Геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению первой степени:   (общее уравнение плоскости), где хотя бы одно из чисел , и не равно нулю (т.е. ).   Коэффициенты , и общего уравнения плоскости являются координатами ее нормального вектора , который перпендикулярен данной плоскости.  
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ Две плоскости   ,   образуют четыре попарно равных двугранных угла. Один из них равен углу между нормальными векторами и и определяется формулой   Угол , смежный с углом , определяется формулой .
УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ Если две плоскости   ,   параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарны (и обратно). Поэтому условие параллельности (необходимое и достаточное) имеет вид: .  
УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ Если две плоскости   ,   перпендикулярны, то их нормальные векторы и перпендикулярны. Поэтому условие перпендикулярности имеет вид:   .  
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ Длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Расстояние от точки до прямой определяется формулой   .
ПРЯМАЯ в пространстве Всякая прямая линия в пространстве определяется системой двух уравнений первой степени   (где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам ),   представляющих две различные плоскости, проходящие через данную прямую (т.е. пересекающиеся по данной прямой).   Прямую можно определить и другими уравнениями. Например, канонические уравнения прямой, проходящей через точку , имеют вид: , где , и являются координатами направляющего вектора , который параллелен данной прямой (или лежит на ней).
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ в пространстве Две прямые , образуют четыре попарно равных угла. Один из них равен углу между направляющими векторами и и определяется формулой   Угол , смежный с углом , определяется формулой .
УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ в пространстве Если две прямые , параллельны, то их направляющие векторы и коллинеарны. Поэтому условие параллельности имеет вид: .  
УСЛОВИЕ ПАРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ в пространстве Если две прямые , перпендикулярны, то их направляющие векторы и перпендикулярны. Поэтому условие перпендикулярности имеет вид:   .
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Угол между прямой и ее проекцией на плоскость.   Угол между прямой и плоскостью   определяется по формуле   ;  
УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Условие параллельности прямой и плоскости   имеет вид:   . Это условие выражает перпендикулярность направляющего вектора и нормального вектора .  
УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Условие перпендикулярности прямой и плоскости   имеет вид:   . Это условие выражает коллинеарность направляющего вектора и нормального вектора .  
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ Уравнение, связывающее координаты любой точки («текущей точки»), лежащей на этой поверхности. Уравнение поверхности можно представить в виде равенства , которому удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности, и только они (т.е. координаты любой точки, не лежащей на данной поверхности, не удовлетворяют уравнению этой поверхности).  
ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА Поверхность, которая определяется уравнением второй степени относительно текущих координат : , где хотя бы одно из шести чисел , , , , , не равно нулю.