 |
|
Рівняння, в яких заміна очевидна
Розглянемо наступні рівняння:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Спосіб розв'язування:
1) 
.
Зведемо дане рівняння до виду 
і, зробивши підстановку 
, розв'яжемо отримане рівняння 
. Отримаємо 
або 
. Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:
a) 
, 
або 
б) 
;
Відповідь: 
; ; 
2) 
. Зробивши підстановку, отримаємо рівняння 
, розв’язок якого 
або 
. Повертаючись до підстановки:
a) 
, 
або 
б) 
, 
розв’язків немає.
Відповідь: 
; 
3) .
Зробивши підстановку 
, розв'яжемо отримане рівняння 
. Отримаємо 
або 
. Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:
а) 
, 
або 
б) 
, 
або 
.
Відповідь: 
; 
.
4) .
Зведемо дане рівняння до виду 
і, Зробивши підстановку 
, розв'яжемо отримане рівняння 
. Отримаємо 
або 
. Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:
a) 
, 
або 
б) 
, 
Відповідь: ; 
.
5) 
.
Зведемо дане рівняння до виду 
і, Зробивши підстановку 
, розв'яжемо отримане рівняння 
. Отримаємо 
або 
. Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:
a) 
, 
б) 
, 
.
Відповідь: .
2.2. Рівняння виду 
при 
, 
, розв’язуються з використанням заміни:
.
Приклади:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
1)  .
Перепишемо дане рівняння у вигляді:
 .
Так як  та  , то введемо нову змінну:
Підставляючи  у вихідне рівняння, отримаємо:
  ,
або 
Звідси знаходимо :  і  , тобто у множині дійсних чисел маємо розв’язки:   . Відповідні корені вихідного рівняння дорівнюють  
Рівняння вищезазначеного типу можна розв’язати і по іншому, перемноживши першу дужку з четвертою, а другу − з третьою, вводячи при цьому відповідну заміну. Розглянемо це на другому прикладі.
|
2) .
Звернемо увагу, що сума вільних членів першої і четвертої дужки дорівнює сумі вільних членів другої і третьої дужки. Перемноживши ці дужки, отримаємо 
. Зробимо заміну 
, отримаємо рівняння 
, відкриємо дужки 
, знайдемо корні за теоремою оберненої до теореми Вієта 
або 
. Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:
1) 
, розв'язків немає.
2) 
або 
Відповідь: 
;
3) 
.
Cума вільних членів першої і четвертої дужки дорівнює сумі вільних членів другої і третьої дужки. Перемноживши ці дужки, отримаємо 
. Зробимо заміну 
, отримаємо рівняння 
, відкриємо дужки 
, знаходимо корені, 
, 
. Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:
а) 
, 
, 
б) 
розв’язків немає.
Відповідь: 
.
4) 
.
Аналогічно, перемноживши відповідні дужки, отримаємо 
. Зробимо заміну 
, отримаємо рівняння 
, відкриємо дужки 
, знаходимо корені, 
, 
. Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:
а) 
, 
, 
б) 
, 
.
Відповідь: 
; 
5) 
Перемноживши відповідні дужки, отримаємо 
. Зробимо заміну 
, отримаємо рівняння 
, знаходимо корені, 
, 
. Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:
а) 
, 
або 
.
б) 
, 
розв’язків немає.
Відповідь: 
;
2.3. Рівняння виду 
.
Розглянемо розв’язування рівнянь виду 
де 
які зводиться до розв’язування сукупності двох квадратних рівнянь за допомогою заміни 
Приклади:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
1) 
Відмітимо що, 
Перемноживши в лівій частині рівняння першу і четверту дужки, а також другу і третю, отримаємо:
.
Оскільки 
не є коренем даного рівняння, поділимо обидві його частини на 
. Отримаємо рівняння:
Рівносильне вихідному. Зробимо заміну змінної 
Тоді отримаємо рівняння 
або 
, звідси 
Таким чином, вихідне рівняння рівносильне сукупності рівнянь:
або 
Розв’язуючи сукупність, отримуємо відповідь вихідного рівняння:
Відповідь: 
2) 
.
Спочатку помножимо обидві частини рівняння на 
, щоб замінити місцями доданки в другій дужці. Отримаємо рівняння 
. Перемножимо ті дужки, в яких добуток вільних членів однаковий, т. б. першу дужку на четверту, а другу на третю. Отримаємо 
. Оскільки не є коренем даного рівняння, то поділимо обидві частини рівняння на 
; отримаємо 
; перетворимо отриманий вираз 
; зробимо заміну змінної 
; і розв'яжемо рівняння 
; 
; 
. Повернемося до заміни і розв'яжемо ще два рівняння:
1) 
; 
; 
; 
.
2) 
; 
; 
, 
Відповідь: 
; 
; 
3) 
.
Оскільки не є коренем даного рівняння, поділимо обидві його частини на . Отримаємо рівняння:
,
Рівносильне вихідному. Зробимо заміну змінної 
Тоді отримаємо рівняння 
або 
, звідси 
Таким чином, вихідне рівняння рівносильне сукупності рівнянь:
або 
Розв’язуючи сукупність, отримуємо відповідь вихідного рівняння:
Відповідь: 
4) .
Зведемо дане рівняння до виду 
Оскільки 
, то перемножимо першу дужку з четвертою та другу з третьою, отримаємо 
не є коренем даного рівняння, поділимо обидві його частини на .
Зробимо заміну змінної 
Тоді отримаємо рівняння 
або 
, звідси 
Таким чином, вихідне рівняння рівносильне сукупності рівнянь:
або 
Розв’язуючи сукупність, отримуємо відповідь вихідного рівняння:
Відповідь: 
5) 
Розв’язуючи аналогічно попереднім прикладам отримуємо:
.
Вводимо заміну 
, 
звідки 
знаходимо 
.
або 
Розв’язуючи сукупність, отримуємо відповідь вихідного рівняння:
Відповідь: 
