Дробово-раціональні рівняння
Рівняння типу розв’язуються з використанням заміни або (частіше) . Приклади: 1. 2. 3. 4. 5. 1) ОДЗ: . Зробимо заміну ; піднесемо обидві частини до квадрату, отримаємо , виразимо і підставимо в вихідне рівняння, отримаємо . Розв'язуємо отримане рівняння ; ; ; отримуємо два рівняння: а) ; ; ; . б) ; ; , . Відповідь: ; ; . 2) Проведемо певну підготовчу роботу з даним рівнянням, а саме – розділимо чисельник та знаменник лівої частини рівняння на (це зробити можна, так як 0 не є коренем цього рівняння). або Ввівши підстановку, отримаємо: Звідки Провівши обернену заміну, отримаємо сукупність рівнянь, що рівносильна вихідному рівнянню: З першого рівняння отримаємо два розв’язки а друге рівняння дійсних коренів не має. Отже, знайдені розв’язки першого рівняння сукупності і будуть розв’язками вихідного рівняння у множині дійсних чисел. 3) У лівій частині рівняння стоїть сума двох квадратів. Спробуємо доповнити її до квадрата різниці. Отримаємо: або , або Використаємо підстановку . Отримаємо рівняння яке має корені Перейшовши до змінної , маємо: Перше рівняння сукупності у множині дійсних чисел розв’язків не має, а з другого рівняння отримаємо розв’язки вихідного рівняння: Відповідь: 4) . Зробимо підстановку , піднесемо обидві частини до квадрату, отримаємо , виразимо і підставимо у вихідне рівняння, отримаємо Розв'язуємо отримане рівняння , отримуємо два рівняння: а) ; ; ; . б) ; дійсних розв'язків немає. Відповідь: , . 5) . Вводимо підстановку , піднесемо обидві частини до кубу, отримаємо , виразимо і підставимо у вихідне рівняння, отримаємо Розв’язуємо отримане рівняння або , отримуємо три рівняння. При дійсних розв’язків немає. а) , б) , Відповідь: Однорідні рівняння Рівняння виду: , де , , і деякі функції, називається однорідним рівнянням. Розв’язання такого рівняння зводиться до розв’язування сукупності, що складається із системи: та рівнянь де всі корені рівняння: Приклади: 1. 2. 3. 4. 5. 1) . Розкриємо справа різницю кубів та запишемо рівняння у вигляді: . Дане рівняння є однорідним відносно двох многочленів: . Поділивши обидві частини рівняння на (очевидно, що не є коренем рівняння ), отримаємо рівносильне рівняння: Поклавши та розв’язавши рівняння знайдемо: . Таким чином, отримане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:
З першого рівняння у множині дійсних чисел маємо: або З другого: або Отже, маємо розв'язки рівняння: Відповідь: 2) . Оскільки не є коренем рівняння, поділимо обидві його частини на , отримаємо , зробивши заміну змінної і, розв'язавши отримане рівняння , знаходимо корені ; . Повернувшись до заміни,: розв'яжемо ще два рівняння 1) ; ; ; ; 2) ; ; ; ,розв'язків немає. Відповідь: ; . 3) Це рівняння є однорідним відносно двох многочленів:
Поділивши обидві частини рівняння на ( очевидно, що не є коренем рівняння), отримаємо рівносильне рівняння: Поклавши та розв’язавши біквадратне рівняння , знайдемо: Таким чином отримане рівняння рівносильне сукупності: Розв’язуючи сукупність, отримуємо розв’язки рівняння: Відповідь: 4) Очевидно, що дане рівняння є однорідним рівнянням відносно двох многочленів, а саме:
Поділивши обидві частини рівняння на ( очевидно, що не є коренем рівняння), отримаємо рівносильне рівняння: Поклавши та розв’язавши рівняння , знайдемо: Таким чином отримане рівняння рівносильне сукупності: Розв’язуючи сукупність, отримуємо розв’язки рівняння: Відповідь: 5) . Як бачимо дане рівняння також є однорідним рівнянням відносно двох многочленів:
Поділивши обидві частини рівняння на ( очевидно, що не є коренем рівняння), отримаємо рівносильне рівняння: Поклавши та розв’язавши рівняння , знайдемо: Таким чином отримане рівняння рівносильне сукупності: Розв’язуючи сукупність, отримуємо розв’язки рівняння: Відповідь:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|