Здавалка
Главная | Обратная связь

Дробово-раціональні рівняння



Рівняння типу розв’язуються з використанням заміни або (частіше) .

Приклади:

1.

2.

3.

4.

5.

 

1) ОДЗ: .

Зробимо заміну ; піднесемо обидві частини до квадрату, отримаємо , виразимо і підставимо в вихідне рівняння, отримаємо . Розв'язуємо отримане рівняння ; ; ; отримуємо два рівняння:

а) ; ; ; .

б) ; ; , .

Відповідь: ; ; .

2)

Проведемо певну підготовчу роботу з даним рівнянням, а саме – розділимо чисельник та знаменник лівої частини рівняння на (це зробити можна, так як 0 не є коренем цього рівняння).

або

Ввівши підстановку, отримаємо:

Звідки Провівши обернену заміну, отримаємо сукупність рівнянь, що рівносильна вихідному рівнянню:

З першого рівняння отримаємо два розв’язки а друге рівняння дійсних коренів не має. Отже, знайдені розв’язки першого рівняння сукупності і будуть розв’язками вихідного рівняння у множині дійсних чисел.

3)

У лівій частині рівняння стоїть сума двох квадратів. Спробуємо доповнити її до квадрата різниці. Отримаємо:

або ,

або

Використаємо підстановку . Отримаємо рівняння яке має корені Перейшовши до змінної , маємо:

Перше рівняння сукупності у множині дійсних чисел розв’язків не має, а з другого рівняння отримаємо розв’язки вихідного рівняння:

Відповідь:

4) .

Зробимо підстановку , піднесемо обидві частини до квадрату, отримаємо , виразимо і підставимо у вихідне рівняння, отримаємо Розв'язуємо отримане рівняння , отримуємо два рівняння:

а) ; ; ; .

б) ; дійсних розв'язків немає.

Відповідь: , .

5) .

Вводимо підстановку , піднесемо обидві частини до кубу, отримаємо , виразимо і підставимо у вихідне рівняння, отримаємо Розв’язуємо отримане рівняння або , отримуємо три рівняння.

При дійсних розв’язків немає.

а) ,

б) ,

Відповідь:

Однорідні рівняння

Рівняння виду: , де , , і деякі функції, називається однорідним рівнянням. Розв’язання такого рівняння зводиться до розв’язування сукупності, що складається із системи:

та рівнянь де всі корені рівняння:

Приклади:

1.

2.

3.

4.

5.

1) .

Розкриємо справа різницю кубів та запишемо рівняння у вигляді:

.

Дане рівняння є однорідним відносно двох многочленів:

.

Поділивши обидві частини рівняння на (очевидно, що не є коренем рівняння ), отримаємо рівносильне рівняння:

Поклавши та розв’язавши рівняння знайдемо:

. Таким чином, отримане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

 

З першого рівняння у множині дійсних чисел маємо:

або

З другого:

або

Отже, маємо розв'язки рівняння:

Відповідь:

2) .

Оскільки не є коренем рівняння, поділимо обидві його частини на , отримаємо

,

зробивши заміну змінної і, розв'язавши отримане рівняння , знаходимо корені ;

. Повернувшись до заміни,: розв'яжемо ще два рівняння

1) ; ; ; ;

2) ; ; ; ,розв'язків немає.

Відповідь: ; .

3) Це рівняння є однорідним відносно двох многочленів:

Поділивши обидві частини рівняння на ( очевидно, що не є коренем рівняння), отримаємо рівносильне рівняння:

Поклавши та розв’язавши біквадратне рівняння , знайдемо: Таким чином отримане рівняння рівносильне сукупності:

Розв’язуючи сукупність, отримуємо розв’язки рівняння:

Відповідь:

4)

Очевидно, що дане рівняння є однорідним рівнянням відносно двох многочленів, а саме:

Поділивши обидві частини рівняння на ( очевидно, що не є коренем рівняння), отримаємо рівносильне рівняння:

Поклавши та розв’язавши рівняння , знайдемо: Таким чином отримане рівняння рівносильне сукупності:

Розв’язуючи сукупність, отримуємо розв’язки рівняння:

Відповідь:

5) .

Як бачимо дане рівняння також є однорідним рівнянням відносно двох многочленів:

Поділивши обидві частини рівняння на ( очевидно, що не є коренем рівняння), отримаємо рівносильне рівняння:

Поклавши та розв’язавши рівняння , знайдемо: Таким чином отримане рівняння рівносильне сукупності:

Розв’язуючи сукупність, отримуємо розв’язки рівняння:

Відповідь:

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.