Как определить коллинеарность векторов пространства? ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Правило очень похоже. Для того чтобы два вектора пространства были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны . Пример 5 Выяснить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства: а) ; Решение: Система не имеет решения, значит, векторы не коллинеарны. «Упрощёнка» оформляется проверкой пропорции . В данном случае: Ответ: векторы не коллинеарны. б-в) Это пункты для самостоятельного решения. Попробуйте его оформить двумя способами. Существует метод проверки пространственных векторов на коллинеарность и через определитель третьего порядка, данный способ освещен в статье Векторное произведение векторов. Аналогично плоскому случаю, рассмотренный инструментарий может применяться в целях исследования параллельности пространственных отрезков и прямых. Добро пожаловать во второй раздел:
Линейная зависимость и независимость векторов трехмерного пространства. Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Я постарался минимизировать конспект по теории, поскольку львиная доля информации уже разжёвана. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия. Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний. И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны болՌ鍈젾ѯ쓐縠嬵顒ғ嚷Ұ䙂ельный и средний палец. Это будут векторы , они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов! Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =) Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являютсякомпланарными и, совершенно очевидно, что базиса трёхмерного пространства не создают. Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)). Определение: три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны. Компланарные векторы всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы не коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом: (а почему – легко догадаться по материалам предыдущего раздела). Справедливо и обратное утверждение:три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга. И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства. Определение: Базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису , где – координаты вектора в данном базисе Напоминаю, также можно сказать, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки и любых трёх линейно независимых векторов: Точка пространства, которая называетсяначалом координат, и некомпланарныевекторы , взятые в определённом порядке, задаютаффинную систему координат трёхмерного пространства: Конечно, координатная сетка «косая» и малоудобная, но, тем не менее, построенная система координат позволяет нам однозначно определить координаты любого вектора и координатной любой точки пространства. Аналогично плоскости, в аффинной системе координат пространства не будут работать некоторые формулы, о которых я уже упоминал. Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координат, как все догадываются, является прямоугольная система координат пространства: Точка пространства, которая называетсяначалом координат, иортонормированныйбазис задаютдекартову прямоугольную систему координат пространства. Знакомая картинка: Перед тем, как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем информацию: Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие утверждения: Противоположные высказывания, думаю, понятны. Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5). Оставшиеся практические задания будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Пора повесить на гвоздь геометрическую клюшку и орудовать бейсбольной битой линейной алгебры: Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: . Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (значение определителя от этого не изменится – см. свойства определителей). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач. Тем читателям, которые немножко позабыли методы расчета определителей, а может и вообще слабо в них ориентируются, рекомендую один из моих самых старых уроков: Как вычислить определитель? Пример 6 Проверить, образуют ли базис трёхмерного пространства следующие векторы: а) Решение: Фактически всё решение сводится к вычислению определителя. а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке): Ответ: данные векторы образуют базис б) Это пункт для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Встречаются и творческие задачи: Пример 7 При каком значении параметра векторы будут компланарны? Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю: По существу, требуется решить уравнение с определителем. Налетаем на нули как коршуны на тушканчиков – определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке и сразу же избавиться от минусов: Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению: Ответ: при Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение в исходный определитель и убедиться, что , раскрыв его заново. В заключение рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая носит больше алгебраический характер и традиционно включается в курс линейной алгебры. Она настолько распространена, что заслуживает отдельного топика: Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства Пример 8 Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе. Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы: Вычислим определитель, составленный из координат векторов : ! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения. Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: , где – координаты вектора в базисе . Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор можно единственным образом разложить по данному базису: По условию и требуется найти координаты . Для удобства объяснения поменяю части местами: . В целях нахождения следует расписать данное равенство покоординатно: По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя , в правую часть записаны координаты вектора . Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают по формулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование. Главный определитель системы уже найден: Дальнейшее – дело техники: Таким образом: Ответ: Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу, решение будет намного проще. Однако на практике мне такое задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в предыдущем разделе. Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения: Пример 9 Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера. Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока. Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока. Пример 2:Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов: Пример 4:Доказательство:Трапециейназывается четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Пример 5:Решение: Пример 6:Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке): Пример 9:Решение:Вычислим определитель, составленный из координат векторов : Ответ:Векторы образуют базис,
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|