Главная | Обратная связь

ДУ-1 Бернулли: определение, отыскание общего решения

Решение уравнения с разделяющимися переменными

Понятие однородной функции n-ого измерения однородные ДУ-1, их решение

Линейные ДУ-1: определение, отыскание общего решения методом Бернулли.

ДУ-1 Бернулли: определение, отыскание общего решения

Основные понятия и определения

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) порядка “n” называется уравнение , связывающее аргумент х, функцию y и ее производные функции.

F(x,y,y',y'',..y⁽ⁿ⁾)=0

2. Старшая производная задана неявно.

3.Порядок старшей производной – порядок ДУ.

4.Если у=у(х), то ДУ- обыкновенное. Если у=у(x,t,ω), то F(x,t,ω, , , )=0-уравнение в частных производных.

5. у=у(х)-решение ДУ, если при подстановке в ДУ получаем тождество.

6. у=у(х,С₁, С₂….С_n) , где С₁, С₂….С_n- произвольные постоянные- общее решение.

7. у=у(х), х=х(у) удовлетворяющее этому ДУ, но не входящие в общее решение- особое решение

8. Если в общем решении у=у(х,С₁, С₂….С_n) произвольным постоянным придать конкретное значение, то имеем частное решение.

9. Отыскание решения - интегрирование ДУ.

10. Если решение ДУ записано через интегралы, то говорят, что решение – квадратуры(даже если интегралы неберущиеся)

Теорема о существовании и единственности задачи Коши для ДУ-1(без док-ва)

Д

у а)Пусть дано уʹ=f(x,y): 1. Д-область существования f(x,y)

2. f(x,y), непрерывны в Д, тогда для всякого (х₀,у₀)

х существует решение у=у(х), такое что у(х₀)=у₀

 

б) Если решениям ДУ-1 у=у₁(х) и у=у₂(х) совпадают в одной точке, то они тождественны.

Решение уравнения с разделяющимися переменными

уʹ=f(x)*g(y)

= f(x)*g(y) |*

= f(x)*g(y)* |/g(y)≠0

= f(x)*

= - общее решение

Понятие однородной функции n-ого измерения однородные ДУ-1, их решение

f(x,y)- однородная измерения m, если f(tx, ty)=t^m*f(x, y)

Метод решения однородного ДУ-1:

f(x, y)=f(tx, ty)

уʹ= f(x, y)=f(tx, ty) => уʹ= f(tx, ty)

Пусть t=

уʹ= f( *x, *y)=f(1, )

уʹ= f(1, ) =>однородное ДУ-1 можно сделать зависимым только от отношения ( ) (5)

=u(x)

y=u(x)*x

уʹ= = *x+u (6)

(6) в (5): *x+u= f(1, u) – ДУ-1 с разделяющимися переменными.

Вывод: однородные ДУ-1 подстановкой =u(x) сводятся к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные ДУ-1: определение, отыскание общего решения методом Бернулли.

Если q(x) 0 для всякого х Д, то уʹ+p(x)*y=0- однородное линейное ДУ-1.

Если q(x) , то уʹ+p(x)*y= q(x)- неоднородное линейное ДУ-1.

общего решения методом Бернулли

у=u(x)*v(x) (10)

= *v+u*

*v+u* +p(x)*u*v= q(x)

a) =- p(x)*v |*

v= (11)

Подставим v в б:

* =q(x) |*

(12)

Ответ: (11), (12) в (10)

ДУ-1 Бернулли: определение, отыскание общего решения

уʹ+p(x)*y= q(x)*у^m|/ у^m≠0

m≠0

+ p(x)* = q(x)

= z

= => => + p(x)*z = q(x) –НЛДУ-1

Замечание: у=u*v – подстановка.