 |
|
Перевірте виконання необхідної умови збіжності.
РЯДИ
11.1 Числові ряди 
Необхідна умова збіжності числового ряду:
якщо ряд 
збігається, то 
. (11.1)
Достатня умова розбігається числового ряду:
якщо 
, то ряд розбігається. (11.2)
11.1.1 Числові знакододатні ряди , 
Рекомендації до застосування достатніх ознак збіжності числових знакододатних рядів:
Ознака Даламбера:
Якщо 
, перевірити виконання необхідної умови збіжності.
Радикальна ознака Коші:
Якщо , перевірити виконання необхідної умови збіжності.
Друга гранична ознака порівняння рядів:
(порівняти з рядом....
Інтегральна ознака Коші:
Див. розділ «Невласні інтеграли».
В інших випадках застосовуеться перша ознака порівняння рядів (1) і 
(2), 
, 
:
Якщо ряд (2) збіжний, то ряд (1) також збіжний;
Якщо ряд (1) розбіжний, то ряд (2) також розбіжний.
Алгоритм дослідження збіжності числових знакододатних рядів.
Перевірити виконання необхідної умови збіжності.
У разі її виконання застосувати певну достатню умову збіжності (орієнтуючись рекомендаціями на стор. 1).
Якщо необхідна умова збіжності не виконується, то ряд є розбіжним.
Приклад 11.1 Дослідити збіжність ряду 
Перевірте виконання необхідної умови збіжності.
.
.
Отже, необхідна умова збіжності виконується.
З’ясуйте, яку достатню ознаку збіжності слід використати для даного ряду.
Згідно рекомендаціям, для рядів, що містять показникові функцію(у нас 
) слід застосувати ознаку Даламбера.
Застосуйте обрану ознаку збіжності.
Знаючи 
, знайдемо наступній за ним 
-й член, замінюючи у виразі 
-го члена через 
:
.
Потім шукаємо границю відношення наступного члена 
до попереднього при 
.
(для обчислення 
можна застосувати, наприклад, правило Лопіталя)
Запишіть відповідь.
Отже, за ознакою Даламбера заданий ряд збігається.
Приклад 11.2 Дослідити на збіжність ряд 
Перевірте виконання необхідної умови збіжності.
.
, оскільки при високого порядку 
є нескінченно великою більш високого порядку ніж 
.