 |
|
Дослідіть збіжність ряду, членами якого є абсолютні значення членів даного ряду.
Даний ряд є знакозмінним.
Складемо ряд з його абсолютних значень і дослідимо отриманий ряд 
з додатними членами. Порівняємо його з геометричною, нескінченно спадною прогресією 
, яка є збіжним рядом(можна обчислити її суму). Кожний член отриманого ряду не більше відповідного члена геометричної прогресїї: 
. Тому, згідно першої ознаки порівняння, ряд з додатними членами теж збігається.
Зробіть висновки, щодо подальшого дослідження.
Застосувавши достатню ознаку збіжності знакозмінних рядів, робимо висновок, що заданий ряд є абсолютно збіжним.
Приклад 11.9 Дослідити збіжність ряду 
Дослідіть збіжність ряду, членами якого є абсолютні значення членів даного ряду.
Для даного знакозмінного ряду не виконується необхідна умова збіжності:
- не існує.
Зробіть висновки, щодо подальшого дослідження.
Заданий ряд є розбіжним.(Приведено скорочений розв’язок).
Степеневі ряди
Степеневим рядом називається функціональний ряд виду
Теорема Абеля
Якщо.....
Областю збіжності для рядів 
і 
є інтервал 
, де 
- радіус збіжності, до якого приєднується точки 
, якщо а цих точках ряд збігається.
Областю збіжності для рядів 
і 
є інтервал 
, де - радіус збіжності, до якого приєднуються точки 
, якщо в цих точках ряд збігається.
Обчислення радіуса збіжності :
(1)
(2)
(3)
(4)
Алгоритм визначення області збіжності степеневих рядів.
З’ясуйте, за якою формулою слід знаходити радіус збіжності , і знайти його.
Записати інтервал збіжності.
3. Дослідити збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності (якщо 
або 
):
Якщо 
, то ряд збігається тільки в точці 
.
Якщо 
, то інтервал збіжності 
Записати відповідь.
Приклад 11.10. Визначити область збіжності ряду 
З’ясуйте, за якою формулою слід знаходити радіус збіжності даного ряду.
Для даного ряду 
. Знайдемо радіус збіжності за формулою (11.1).