 |
|
Записати шуканий ряд Маклорена.
Приклад 11.15. Розкласти функцію 
в ряд Маклорена
Представте задану функцію через елементарні функції, для яких відомі розклади в ряд Маклорена.
Розкладемо задану функцію на суму двох найпростіших дробів:
.
Для першого доданку розклад в ряд Маклорена відомий (див. формулу 11.9). Отже, 
.
Зробіть перетворення, щоб можна було застосувати відомий розклад.
Перетворимо вираз 
:
.
Якщо тепер у формулі (11.9) замість 
напишемо 
, то отримаємо 
або 
.
Запишіть шуканий ряд Маклорена.
У підсумку 
.
Приклад 11.16. Розкласти функцію 
в ряд Маклорена
Представте задану функцію через елементарні функції, для яких відомі розклади в ряд Маклорена.
Застосуємо тригонометричну формулу зниження степеня.
Тоді 
.
Зробіть перетворення, щоб можна було застосувати відомий розклад.
Якщо у формулі (11.7) замість напишемо 
, то отримаємо 
, 
.
Запишіть шуканий ряд Маклорена.
У підсумку маємо:
, 
.
Ряди Фур’є
Алгоритм розкладання функцій в ряд Фур’є
Зробити графік заданої функції.
Проаналізувати графік функції і обрати формули, за якими дана функція представляється рядом Фур’є.
Знайти коефіцієнти ряду Фур’є.
Записати відповідь.
Приклад 11.17. Розкласти в ряд Фур’є функцію 
Зробіть графік даної функції.
(графік)
Зобразимо задану функцію та іі періодичне продовження на всю числову вісь.
Задана функція задовольняє умови теореми Діріхле.
Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу.
Дана функція не є ні парною, ні непарною. Будемо застосовувати формули (11.14), в яких покладемо 
, а границі інтегрування 
і 
, оскільки функція задана в інтеграл 
.
Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є.
;
=
;
.
Важливо пам’ятати:
, 
; 
;
, 
; 
.