Запишіть відповідь.
Підставляючи отримані значення , , в формулу (11.14) отримуємо шуканий розклад заданої функції в ряд Фур’є: Цей розклад справедливий, тобто отриманий ряд збігається до заданої функції у всіх точках її області визначення . У граничних точках і сума ряду дорівнює (у цих точках усі члени ряду, крім першого, обертаються в нуль).
Приклад 11.18. Розкласти в ряд Фур’є функцію Зробіть графік даної функції. Наведемо графік функції, одержаної періодичним продовженням її на всю числову вісь.
(графік)
Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу. Дана функція є функцією загального виду. Будемо застосовувати формули (11.14), в яких покладемо . Інтервал інтегрування точкою розіб’ємо на дві частини, оскільки у кожній з них функція задана різними формулами. Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є.
.
Запишіть відповідь. Шуканий розклад даної функції має вигляд .
Приклад 11.19. Розкласти в ряд Фур’є функцію
Зробіть графік даної функції. Зобразимо графік функції, одержаної періодичним продовженням функції на всю числову вісь.
(графік)
Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу. Для даної функції зручно застосувати комплексну форму ряду Фур’є (11.17) Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є. . Зауважимо, що за формулами Ейлера . Отже, .
Запишіть відповідь. .
Зауваження. Щоб перетворити отриманий ряд в комплексній формі до звичайного тригонометричного ряду Фур’є (якщо це потрібно), слід об’єднати доданки з індексами і і замінити у підсумку за формулами Ейлера показникові функції тригонометричними: , Із самої формули ряду в комплексній формі при отримаємо значення . Таким чином, .
Приклад 11.20. Розкласти в ряд Фур’є функцію . Користуючись отриманим розкладом, знайти суму ряду . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|