 |
|
Запишіть відповідь.
Підставляючи отримані значення 
, 
, 
в формулу (11.14) отримуємо шуканий розклад заданої функції в ряд Фур’є:
Цей розклад справедливий, тобто отриманий ряд збігається до заданої функції у всіх точках її області визначення 
. У граничних точках 
і 
сума ряду дорівнює 
(у цих точках усі члени ряду, крім першого, обертаються в нуль).
Приклад 11.18. Розкласти в ряд Фур’є функцію 
Зробіть графік даної функції.
Наведемо графік функції, одержаної періодичним продовженням її на всю числову вісь.
(графік)
Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу.
Дана функція є функцією загального виду.
Будемо застосовувати формули (11.14), в яких покладемо 
. Інтервал інтегрування 
точкою 
розіб’ємо на дві частини, оскільки у кожній з них функція задана різними формулами.
Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є.
.
Запишіть відповідь.
Шуканий розклад даної функції має вигляд
.
Приклад 11.19. Розкласти в ряд Фур’є функцію 
Зробіть графік даної функції.
Зобразимо графік функції, одержаної періодичним продовженням функції 
на всю числову вісь.
(графік)
Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу.
Для даної функції зручно застосувати комплексну форму ряду Фур’є (11.17)
Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є.
.
Зауважимо, що за формулами Ейлера 
.
Отже, 
.
Запишіть відповідь.
.
Зауваження. Щоб перетворити отриманий ряд в комплексній формі до звичайного тригонометричного ряду Фур’є (якщо це потрібно), слід об’єднати доданки з індексами 
і 
і замінити у підсумку за формулами Ейлера показникові функції тригонометричними:
,
Із самої формули ряду в комплексній формі при 
отримаємо значення 
.
Таким чином, 
.
Приклад 11.20. Розкласти в ряд Фур’є функцію 
. Користуючись отриманим розкладом, знайти суму 
ряду 
.