Свойства сходящихся рядовСтр 1 из 4Следующая ⇒
Ряды Числовые ряды Основные понятия числового ряда Определение . Пусть дана бесконечная числовая последовательность u1, u2,¼,un,¼. Выражение вида
u1+u2+u3+¼+un+¼= (13.1.1)
называется числовым рядом,числа u1, u2,¼,un,…- членами ряда, член un -общим членом ряда ( это формула, . по которой для любого номера n можно определить соответствующий член ряда).
Определение. Сумма конечного числа п первых членов ряда называется его n-й частичной суммой: Sn=u1+u2+u3+¼+un.
Рассмотрим частичные суммы ряда (1) S1= u1, S2= u1+u2, S3= u1+u2+u3, ¼, Sn= , ¼ Определение. Если существует конечный предел при п®∞ последовательности частичных сумм членов данного ряда
,
то ряд (13.1.1) называется сходящимся, а число S-его суммой: S = . Если же данный предел не существует или бесконечен (т.е. Sn®∞ при п®∞ ), то ряд (13.1.1) расходится и суммы не имеет. Геометрическая прогрессия
Определение 4. Геометрической прогрессией называется ряд a+aq+aq2+¼+aqn+¼= , (13.1.2) где q-знаменатель ряда (действительное число) Этот ряд сходится при |q|<1 и расходится при |q|³1. Действительно, согласно известной формуле при q≠1 Sп= а) если |q|<1, то при п®∞, тогда имеем ряд сходится и его сумма . б) в случае |q|>1: при п®∞ и Sn=±∞. в) при q=1 ряд (13.1.2) имеет вид: a+a+a+¼= , Sn=na, , т.е. ряд расходится. г) q=-1 ряд (13.1.2) имеет вид: a-a+a-а+¼ В этом случае предела не имеет и ряд расходится.
Свойства сходящихся рядов Теорема 13.1. Если сходится ряд , полученный из данного ряда (13.1.1) путём отбрасывания его первых п членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится ряд (13.1.1), то сходится и ряд, полученный из данного ряда путём отбрасывания первых п членов. Т.е. на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его первых членов. Теорема 13.2. Если ряд (13.1.1) сходится и его сумма равна S, то и ряд , (13.1.3) где с-некоторое число, также сходится, и его сумма равна c×S. Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и , то и ряд
(13.1.4)
тоже сходится и его сумма равна S± .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|