Здавалка
Главная | Обратная связь

Тема «Знакопостоянные ряды»



В примерах 1 -13 исследовать ряды на сходимость.

Пример 1.

Решение. Воспользуемся необходимым признаком.

, значит, ряд расходится.

Пример 2. .

Решение. Ясно, что , т. е. необходимый признак сходимости выполняется. Применим признак Даламбера:

,

значит данный ряд сходится.

Пример 3. Дан ряд .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера

, ряд сходится.

Пример 4. .

Решение. Воспользуемся радикальным признаком Коши

, ряд сходится.

Пример 5. .

Решение. Применим интегральный признак Коши. Заменим n на x и вычислим:

Следовательно, ряд сходится.

Пример 6. .

Решение. Очевидно, что , следовательно , а так как ряд расходится, то и данный ряд расходится.

Пример 7. .

Решение. Сравним его с рядом , который сходится (ряд Дирихле).

Воспользуемся замечанием ( формула (13.1.9) и найдём предел отношения:

,

значит данный ряд также сходится.

Пример 8. .

Решение. Необходимый признак сходимости выполняется, так как

.

Следовательно исследование необходимо продолжить далее. Воспользуемся достаточным признаком сравнения. Выберем мажоранту ряд Дирихле , который сходится так как

<

сход сход

Пример 9. .

Решение. Необходимый признак сходимости выполняется, так как

.

Сравним с рядом – который представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится

сход ← сход

Пример 10. .

Решение. По признаку Даламбера

Пример 11. .

Решение. Необходимый признак сходимости выполняется так как

.

Далее воспользуемся признаком сравнения

.

расход → расход


 

 

Пример 12.

1) Какой вывод можно сделать (запишите ответы в пустом эллипсе)

а)

ряд расходится
an → 0

 

о поведении an при

 

б)

о сходимости ряда.

 

Ответ: а) может равняться нулю, а может и не равняться нулю.

б) ряд с общим членом an может сходиться, а может расходиться.

ряд сходится
an → 0
при
ряд расходится
2) Укажите стрелкой, что из чего следует:

а)

 

б)

 

Ответ: а) ←; б) →.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.