ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Пример 14.1.Разложить в ряд Фурье функцию . Решение. Заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье. На интервале функция – нечетная. Следоватнльно, ряд Фурье этой функции содержит только синусы (при косинусах все коэффициенты , n = 0, 1, 2, 3, …). Коэффициенты bn определим по формуле , в которую вместо надо подставить x.
Рис.14.1 а) график функции (–π < x < π), б) график функции ( –π < x < π) с ее периодическим продолжением, в) Сумма S6, S10, S∞ шести, десяти гармоник и S∞.
Найдём
⇒ Здесь учтено, что . Подставим эти значения коэффициентов в формулу и вынесем постоянный множитель 2 за знак суммы: . Придавая n значения 1, 2, 3, …, получим разложение в развёрнутом виде . (*) В интервале это равенство справедливо в точках непрерывности функций f(x), то есть в данном случае во всех внутренних точках интервала . Вне интервала этот ряд изображает периодическое продолжение рассматриваемой функции. В точках разрыва ( ) сумма ряда равна среднему арифметическому ее левостороннего и правостороннего пределов в этих точках. Найдем эти пределы: Среднее арифметическое этих пределов Во всех точках разрыва этой функции получим то же самое. Таким образом, в точках разрыва сумма ряда равна нулю. На рис.14.1(в) к этой задаче представлены первый, второй и третий члены ряда, а также – сумма шести, десяти членов ряда, а также . Разложение (*) можно записать так: где k – любое целое число. Если подставить в разложение (*) , которая является точкой непрерывности заданной функции, получим известную формулу . Пример 14. 2. Разложить функцию в ряды Фурье из синусов и из косинусов на отрезке [0, 2]. На отрезке [0, 2] данная функция удовлетворяет условиям Дирихле (см. рис. 14.2). Построим графики функций, которые являются нечетным и четным продолжением функции f(x) на отрезок [–2, 0], и затем с отрезка [–2, 2] периодически продолжаем их на всю числовую ось (рис.14.2, рис. 14.3).
Рис. 14.2
Рис. 14.3 1) Разложение в ряд Фурье из синусов для функции f(x) имеет вид ,
где Для вычисления коэффициентов bn применим формулу интегрирования по частям: . Полагая (общий множитель 2 вынесем за знак интеграла), , находим , ( ) . Отсюда следует Положив (k = 1, 2…), получаем искомое разложение функции f(x): . 2) Разложение функции f(x) в ряд Фурье из косинусов имеет вид , где
По формуле интегрирования по частям находим = ; Положив –1 (k = 1, 2,…), получаем разложение данной функции в ряд Фурье из косинусов: , . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|