Главная | Обратная связь

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Пример 14.1.Разложить в ряд Фурье функцию

.

Решение. Заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле и

может быть разложена в ряд Фурье. На интервале функция – нечетная. Следоватнльно, ряд Фурье этой функции содержит только синусы (при косинусах все коэффициенты , n = 0, 1, 2, 3, …).

Коэффициенты b_n определим по формуле

,

в которую вместо надо подставить x.

4π

y

–4π

–3π

–2π

–π

π

π

2π

3π

5π

x

y

π

–π

x

а) б)

 

 

x

S6

y

S∞

S10

в)

 

 

Рис.14.1

а) график функции (–π < x < π), б) график функции ( –π < x < π) с ее периодическим продолжением, в) Сумма S₆, S₁₀, S_∞ шести, десяти гармоник и S_∞.

 

Найдём

 

⇒

Здесь учтено, что . Подставим эти значения коэффициентов в формулу

и вынесем постоянный множитель 2 за знак суммы:

.

Придавая n значения 1, 2, 3, …, получим разложение в развёрнутом виде

. (*)

В интервале это равенство справедливо в точках непрерывности функций f(x), то есть в данном случае во всех внутренних точках интервала . Вне интервала этот ряд изображает периодическое продолжение рассматриваемой функции.

В точках разрыва ( ) сумма ряда равна среднему арифметическому ее левостороннего и правостороннего пределов в этих точках.

Найдем эти пределы:

Среднее арифметическое этих пределов

Во всех точках разрыва этой функции получим то же самое.

Таким образом, в точках разрыва сумма ряда равна нулю. На рис.14.1(в) к этой задаче представлены первый, второй и третий члены ряда, а также – сумма шести, десяти членов ряда, а также .

Разложение (*) можно записать так:

где k – любое целое число.

Если подставить в разложение (*) , которая является точкой непрерывности заданной функции, получим известную формулу

.

Пример 14. 2. Разложить функцию

в ряды Фурье из синусов и из косинусов на отрезке [0, 2].

На отрезке [0, 2] данная функция удовлетворяет условиям Дирихле (см. рис. 14.2). Построим графики функций, которые являются нечетным и четным продолжением функции f(x) на отрезок [–2, 0], и затем с отрезка [–2, 2] периодически продолжаем их на всю числовую ось (рис.14.2, рис. 14.3).

–2

x

y

y =2x ̶ 2

–1

–3

–2

–4

 

Рис. 14.2

 

x

y

–2

–1

–3

–2

–4

 

 

Рис. 14.3

1) Разложение в ряд Фурье из синусов для функции f(x) имеет вид

,

 

 

где

Для вычисления коэффициентов b_n применим формулу интегрирования по частям:

.

Полагая (общий множитель 2 вынесем за знак интеграла), , находим

,

( )

.

Отсюда следует

Положив (k = 1, 2…), получаем искомое разложение функции f(x):

.

2) Разложение функции f(x) в ряд Фурье из косинусов имеет вид

,

где

По формуле интегрирования по частям находим

=

;

Положив –1 (k = 1, 2,…), получаем разложение данной функции в ряд Фурье из косинусов:

, .