Методичні вказівки.

Пряма лінія на площині.

Розрахункові завдання.

Задача1. В задачах 1.1-1.30 задані координати вершин трикутника АВС. Знайти:

1)довжини сторін АВ,ВС, та АС;

2)рівняння сторін АВ, АС, ВС;

3)кутові коефіцієнти сторін АВ, АС та ВС;

4)величину кута В в радіанах з точністю до двох знаків;

5)довжину бісектриси ВF внутрішнього кута В;

6)рівняння висоти АЕ та її довжину;

7)рівняння медіани СD та координати точки Р перетину цієї медіани з висотою АЕ;

8) рівняння середньої лінії KN трикутника;

9)площу трикутника;

10)побудувати на міліметровому папері (формат А4) трикутник АВС та знайдені його елементи в системі координат ХОУ, взявши за 1 масштабну 1 см.

1.1 А(-5;4) В(5;8-β) С(1;1)

1.2 А(-6;-2) В(-3;-11- β) С(-1;-5)

1.3 А(-3;1) В(1;5- β) С(2;5)

1.4 А(-4;6) В(-7;-6- β) С(-3;-5)

1.5 А(-8;-3) В(12;-2- β) С(-8;-2)

1.6 А(-7;4) В(6;-3- β) С(-4;1)

1.7 А(-2;3) В(-2;-1- β) С(5;-8)

1.8 А(-6;5) В(5;-9- β) С(-1;0)

1.9 А(-5;4) В(0;-4- β) С(6;-6)

1.10 А(-8;-3) В(-4;10- β) С(-5;7)

1.11 А(-7;7) В(4;-3- β) С(-7;2)

1.12 А(-4;1) В(8;-8- β) С(-3;2)

1.13 А(-6;3) В(-1;3- β) С(0;-3)

1.14 А(5;-1) В(-13;-5- β) С(-6;-1)

1.15 А(-5;9) В(-3;9- β) С(0;-6)

1.16 А(-8;4) В(7;11- β) С(-6;-7)

1.17 А(-9;7) В(-11;-4- β) С(1;-5)

1.18 А(-3;2) В(1;-1- β) С(-5;4)

1.19 А(-1;5) В(-8;-1- β) С(-1;9)

1.20 А(-8;3) В(-2;-6- β) С(-5;7)

1.21 А(-4;2) В(4;7- β) С(-6;9)

1.22 А(-5;0) В(-4;-9- β) С(9;5)

1.23 А(-7;5) В(1;1- β) С(0;1)

1.24 А(4;0) В(-1;-2- β) С(-3;8)

1.25 А(-8;3) В(3;-3- β) С(-8;2)

1.26 А(-2;5) В(-3;-5- β) С(11;-5)

1.27 А(-4;10) В(0;-9- β) С(-4;7)

1.28 А(-6;0) В(2;-6- β) С(2;-9)

1.29 А(-4;5) В(-2;-3- β) С(-6;-10)

1.30 А(-3;0) В(8;-8- β) С(-2;-3)

Методичні вказівки

Розв’язання задачі. Задані координати вершин трикутника А(-2,3), В(4,-2-β), С(3,7).

Візьмемо β=4, тоді координати вершин трикутника будуть такі:

А(-2,3),В(4,-6),С(3,7).

1.Відстань d між точками А(х ,у ) та В(х ,у ) визначається за формулою

(1)

Використовуючи (1), знаходимо довжину сторони АВ:

d= (лін. од.)

Аналогічно знаходимо довжини сторін ВС та АС:

d= (лін. од.)

d= (лін. од.).

2. Рівняння прямої, яка проходить через точки А(х ,у ) та В(х ,у ) має вигляд:

. (2)

Підставляючи в (2) координати точок А та В, одержимо рівняння сторони АВ:

6(у-3)=-9(х+2) \:3

2(у-3)=-3(х+2)

2у-6=-3х-6

3х+2у=0 (АВ).

Підставляючи в (2) координати точок А та С, дістанемо рівняння сторони АС:

5(у-3)=4(х+2)

4х-5у+23=0 (АС).

Аналогічно знаходимо рівняння сторони ВС:

-1(у+6)=13(х-4)

13х+у-46=0 (ВС).

3.Розв’язавши кожне з рівнянь сторін (АВ), (АС) та (ВС) відносно у, знаходимо їх рівняння у вигляді рівнянь прямих з кутовим коефіцієнтом:

(АВ) 2у=-3х; у= , звідки

(АС) 5у=23+4х; у=

(ВС) у=-13х+46; к=-13.

4.Відомо, що тангенс кута φ між двома прямими, кутові коефіцієнти яких відповідно дорівнюють к та к , обчислюються за формулою:

Tgφ= (3)

Знайдемо кут В, утворений прямими АВ та ВС, кутові коефіцієнти яких знайдені:

к =к =-13; к =к .

Використовуючи формулу (3), дістанемо:

tg B= ,

Тоді в радіанах з точністю до двох знаків кут В дорівнює

5.Довжину бісектриси BF знаходимо як відстань між двома точками B та F. Невідомі координати х,у точки F визначаємо за формулами:

х= у= , де відношення λ= і координати точок А та С-відомі: А(х ,у ) та С(х ,у )

Використовуючи властивість бісектриси внутрішнього кута трикутника, дістанемо:

Так як точка F ділить відрізок АС у відношенні λ=0,69, то згідно з (4) знаходимо:

Отже, точка F(2,49;4,63).

Для знаходження довжини бісектриси BF використаємо формулу (1):

(лін. од).

Отже, d =10,7 .

6. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку к, має вигляд:

у-у =к(х-х ) (5)

Висота АЕ перпендикулярна до сторони ВС. Для того. Щоб знайти кутовий коефіцієнт висоти АЕ будемо використовувати умову перпендикулярності прямих

або

Так як к =-13 , то . Підставляючи в (5) замість х , у координати точки А: х =-2, у =3 та знайдений кутовий коефіцієнт висоти к=к = , дістанемо:

у-3= (х+2);

х-13у+41=0 (АЕ).

Для того, щоб знайти довжину висоти АЕ, визначимо координати точки Е-точки перетину прямих ВС та АЕ, розв’язавши систему рівнянь.

(ВС) 13х+2у=0 х= у=3,2

(АЕ) х-13у+41=0 у= -13у+41=0 х=-0,5

Таким чином, Е(-0,5;3,2).

За формулою (1) знаходимо довжину висоти АЕ:

(лін. од.)

7. Для того щоб знайти рівняння медіани СD, визначимо спочатку координати точки D, середини сторони АВ. Для цього використаємо формули ділення відрізка на дві рівні частини (дивись (4), де λ=1):

Отже, точка D(1;-1,5).

Підставляючи в (2) координати точок С та D, знаходимо рівняння медіани:

. Після деяких перетворень отримуємо рівняння медіани CD:

8,5х-2у-11,5=0 (CD).

Для того, щоб знайти координати точки Р перетину висоти АЕ та медіани CD, розв’яжемо систему рівнянь:

(АЕ) х-13у+41-0 х-13у+41=0 х=13у-41 у=3,3

(CD) 8,5х-2у-11,5=0 ( ) 17х-4у-23=0 17(13у-41)-4у-23=0 х=1,9

Таким чином, точка Р(1,9;3,3).

8.Для знаходження середньої лінії KN, спочатку знайдемо точку К як середину відрізка АВ, знаючи координати точок А і В.

Отже, точка К(1;-1,5).

Аналогічно знаходимо координати точки N:

N (3, 5; 0, 5).

Тепер запишемо рівняння середньої лінії:

Спростивши це рівняння, отримуємо рівняння KN:

2x-2, 5y+1, 75=0 (KN).

9.Знайдемо площу трикутника за формулою (8), знаючи координати його вершин:

х у 1

-2 3 1

4 -6 1 = (кв.од.)

3 7 1

10.Трикутник АВС, бісектриса BF, висота CD, медіана AE, пряма KN побудовані в системі координат ХОУ на мал.1

Задача 3. В задачах 3.1-3.30 задані координати точок А,В,С. Потрібно:

1)записати канонічне рівняння прямої АВ;

2)записати рівняння площини W, яка проходить через точку С, перпендикулярно до прямої АВ;

3)знайти точку К перетину площини з прямою АВ;

4)записати рівняння прямої, яка проходить через точку В паралельно до площини W, як лінію перетину двох площин;

5)знайти точку L, яка симетрична для точки С відносно прямої АВ;

6)знайти відстань від точки С до прямої АВ.

3.1 А(4+β;4;7) В(1+ β;5- β;2+ β) С(4;6;2)

3.2 А(8- β;-4;1) В(3+ β;-2- β;6- β) С(2;-5;3)

3.3 А(1+ β;5;3) В(2+ β;3+ β;-2- β) С(-2;6;-1)

3.4 А(-1- β;-2;0) В(-1- β;7+ β;1- β) С(5;1;-1)

3.5 А(3+ β;9;-2) В(5+ β;- β;8- β) С(0;-5;5)

3.6 А(-2+ β;6;4) В(4- β;- β;3- β) С(2;-2;2)

3.7 А(β;4;-7) В(-1- β;4- β;1- β) С(4;-2;6)

3.8 А(5- β;1;-5) В(5- β;-1+ β;1+ β) С(3;2;-1)

3.9 А(5- β;3;-2) В(-5+ β;3+ β;3+ β) С(-2;7;-2)

3.10 А(-2- β;0;6) В(7+ β;-2- β;2+ β) С(7;-3;7)

3.11 А(β;-7;5) В(4- β;4+ β;-1+ β) С(3;-6;6)

3.12 А(1+ β;-2;1) В(-2+ β;-2+ β; β) С(1;-3;-5)

3.13 А(4+ β;8;-1) В(5- β;-2+ β;-5+ β) С(6;4;-2)

3.14 А(2+ β;3;1) В(3- β;-2- β;-4- β) С(4;-4;6)

3.15 А(7- β;-6;2) В(4+ β;2- β;5+ β) С(-1;1;-1)

3.16 А(5+ β;-1;-1) В(2+ β;-8- β;2+ β) С(6;-3;3)

3.17 А(8- β;-4;0) В(4- β;-5+ β;7- β) С(9;-3;6)

3.18 А(3+ β;-1;3) В(-4+ β;5- β;-3+ β) С(-2;1;4)

3.19 А(-7+ β;6;-2) В(-5- β;3- β;-3- β) С(7;4;2)

3.20 А(-2+ β;1;-4) В(3+ β;-4- β;3+ β) С(3;-4;3)

3.21 А(β;-1;-1) В(7- β;-7- β;4+ β) С(3;3;2)

3.22 А(5+ β;5;-1) В(-4+ β;8- β;-2+ β) С(10;2;-2)

3.23 А(3- β;-2;-1) В(5+ β;9- β;7+ β) С(5;-1;5)

3.24 А(-2- β;2;0) В(-1+ β;1- β;4+ β) С(1;-4;5)

3.25 А(-4- β;-4;8) В(-6+ β;6- β;3+ β) С(4;-4;9)

3.26 А(1+ β;-1;-2) В(8- β;7- β;8+ β) С(9;7;0)

3.27 А(6- β;-7;5) В(-2- β;4+ β;4- β) С(2;-5;2)

3.28 А(-2+ β;0;-4) В(5- β;-2- β;5+ β) С(0;5;-5)

3.29 А(8+ β;1;-5) В(9- β;3+ β;-3- β) С(-4;2;1)

3.30 А(-3+ β;-6;3) В(β;-4+ β;-8- β) С(5;-11;0)

Розв’язання задачі.

Дано координати точок А,В,С. А(5+b,1+b,3); В(9,3+b,3);

С(1,2,3).Візьмемо b=3, тоді координати точок А,В,С будуть такі: А(8,4,9); В(9,6,3); С(1,2,3).

1.Рівняння прямої в просторі, яка проходить через точки А( x₁,y₁,z₁) та B(x₂,y₂,z₂) мають вигляд

(1)

Підставляючи в (1) координати точок А та В, дістанемо

Тут а_х ={1,2,-6} - направляючий вектор прямої АВ.

2. Запишемо рівняння площини W в загальному вигляді: Ax+By+Cz+D=0. (2)

Якщо площина проходить через точку К_о( x_o,y_o,z_o), то її рівняння можна записати так

A(x-x_o)+D(y-y_o)+C(z-z_o)=O,

де - нормальнийвектор площини, який перпендикулярний до площини.

Так як шукана площина W перпендикулярна до прямої АВ, то нормальний вектор такої площини буде колінеарним направляючому вектору прямої АВ, а тому можна взяти взагалі = = .

Замінемо коефіцієнти А,В,С в рівнянні (2) числами 1,2,-6 і підставимо замість x_o,y_o,z_o координати точки С(1,2,3),дістанемо

x+2y-6z+13=0.

3.Визначимо координати точки К перетину площини W з прямою АВ. Для цього спочатку запишемо параметричні рівняння прямої АВ. Нехай

де t- деякий параметр, звідки

,тобто x=t+8, y=2t+4, z=-6t+9. (4)

Підставляючи (4) в (3) знаходимо значення параметра t, при якому точка прямої АВ буде належати і площині W:

t+8+2(2t+4)-6(-6t+9)+13=0

Підставляючи в (4) , знаходимо координати точки К перетину прямої

АВ з площиною W:

Отже точка К(8,6;5,2;5,3).

4.Канонічні рівняння прямої в просторі мають вигляд

, (5)

де (x_o,y_o,z_o) - координати точки, через яку проходить пряма (5); m,l,p - координати направляючого вектора цієї прямої =( m,І,р). За умовою пряма проходить через точку В(9,6,3) паралельно до площини W (3) з нормальним вектором . Скалярний добуток , де

а₂ ={т₂,і₂,р₂}, звідки

Візьмемо, наприклад l₂ =1, p₂ =-1, тоді m₂ =-6-2=-8. Отже маємо а₂= {-8,1,-1}.

Підставляючи в (5) замість x_o,y_o,z_o координати точки В: x_B=9,y_B=6,z_B=3 та замість m,І,р - числа -8,1,-1 і дістанемо канонічні рівняння шуканої прямої BD, паралельної до площини W:

, де t- деякий параметр. Тоді рівняння прямої можна записати так:

x + 4 = 2t; y - 3 = -t; z + l = -2t. (6)

х = 2t - 4; у = -t + 3; z = -2t - 1.

Підставляючи (6) в (2), знаходимо значення параметра t, при якому точка прямої (6) буде належати і площині W:

2(2t-4)-(-t+3)-2(-2t-1)-3=0

9t-12=0

4 Підставляючи в (6) значення , знаходимо координати точки К

перетину прямої (4) з площиною W (2):

(bd) (6)

Зрівнюючи попарно вирази в рівняннях (6), запишемо шукане рівняння прямої BD, як лінію двох площин p₁, та p₂:

(BD) x - 8z + 15 = 0

y – z – 3 = 0

5.Так як пряма АВ перпендикулярна до площини W, то люба пряма, яка розташована в цій площині, буде перпендикулярна до прямої АВ. Отже пряма СК перпендикулярна до прямої АВ, а тому шукана точка L, яка розташована симетрично до точки С, відносно прямої АВ, знаходиться на прямій СК. Пряма СК розташована в площині W, крім того точка К є середина відрізка CL. Застосовуючи формули для знаходження координат точки, яка ділить відрізок на дві рівні частини ( в просторі).

(7)

Знаходимо координати шуканої точки L:

Отже знайдена точка L(16,2;8,4;7,6).

6. Для того, щоб знайти відстань від точки С до прямої АВ, достатньо обчислити відстань від точки С( 1,2,3) до точки перетину L(16,2;8,4;7,6). Дійсно, так як пряма АВ перпендикулярна до площини W, to шукана відстань дорівнює довжині перпендикуляра СК(СК^АВ). Отже, маємо:

(лін. одиниць).

Задача 4. В задачах 4.1-4.30 задані координати точок А,В,С та Р. Потрібно знайти:

1) рівняння площини W, яка проходить через три точки А,В,С;

2) канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку Р, перпендикулярно до площини W; ,

3) точки К₁, К₂, К₃, К₄ перетину одержаної прямої з площиною W та з координатними площинами ХОУ, XOZ,YOZ;

4) відстань від точок Р та D до площини W;

5) координати точки М, яка симетрична точці Р відносно площини W.

4.1 A(y;-4+ y;6+ y) B(1+y;3-y;3-y) C(8-y;3+y;-2+y)

D(2+ y;-1 + y;4-y) P(6- y;6+ y;2- y)

4.2 A(3+y;-1+y;-1-y) B(6-y;3-y;3+y) C(9-y;-1-y;7-y)

D(-4+ y;4+ y;8-y) P(3+ y;2- y;5+ y)

4.3 A(5+y;-14+y;-3-y) B(2+y;1-y;1+y) C(6-y;2-y;2+ y)

D(5+ y;-14+ y;-3-y) P(10- y;4- y;7- y)

4.4 A(-10+y;-1-y;-2-y) B(2+y;1-y;1+y) C(6+y;2-y;2-y)

D(5+ y;-14+ y;-3-y) P(10- y;4- y;7- y)

4.5 A(-4+y;1-y;2+y) B(3+y;1-y;5+y) C(3+y;2+y;1-y)

D(4+ y;-10+ y;3-y) P(7- y;1- y;1+ y)

4.6 A(-2+y;3-y;y) B(2+ y;7- y;-5+ y) C(1-y;3+y;2-y)

D(8+ y;-12+ y;4-y) P(4-y;-1-y;8+ y)

4.7 A(-3+y;5-y;1+y) B(3+y;5-y;-1+y) C(5-Y;10+Y;12-y)

D(5+ y;-3+ y;1 -y) P(3- y;-3- y;-1+ y)

4.8 A(-7+y;13+ y;-1+ y) B(-3-y;-5-y;-11+y) C(-2-y;1+y;2-y)

D(-5+ y;-12+ y;-1-y) P(-1- y;-6- y;-11+ y)

4.9 A(-5+y;7-y;4+y) B(-2+y;-7-y;-2+y) C(-1-y;-3+y;12+y)

D(7+y;-1+y;6-y) P(11-y;-7-y;5+y)

4.10 A(-3+y;7+y;1+y) B(10+ y;2-y;-1+ y) C(12-y;1+y;1-y)

D(5+ y;-3+ y; 1 -y) P(3- y;-3- y;-1 + y)

4.11 A(-14+y;3-y;-7+y) B(-3-y;-4-y;-1+y) C(-9-y;1+y;-2-y)

D(-9+ y;-7+ y;-2-y) P(-5- y;-9- y;-16+ y)

4.12 A(-11+y;-1-y;8+y) B(-3+ y;1+ y;3+ y) C(-3+y;12+ y;6-y)

D(3+ y;-2+ y; 10-y) P(1 - y; 15- y; 11 + y)

4.13 A(-8+y;2-y;3y) B(8+ y;9- y;-5- y) C(-1-y;6+y;-2-y)

D(2+ y;-10+ y;3-y) P(-4- y;-i- y;8- y)

4.14 A(-1+y;9-y;-1+y) B(9+y;1-y;2+y) C(5-y;8+ y;2- y)

D(12+ у;-3+ y;4-y) P(1+ y;6- y;-4+ y)

4.15 A(-1+y;1-y;-7+y) B(-9+y;-3-y;-1+y) C(-3-y;-1+y;-2-y)

D(11+ y;-1+ y;-9-y) P(-2- y;-4- y;-1+ y)

4.16 A(-6+y;1-y;9+y) B(-12+y;-7+y;-8+y) С(-3-у;-4+ y;2- y)

D(7+y;-1-y;7-y) P(1-y;-5-y;-5-y)

4.17 A(-6+y;3+y;-1+y) B(1+y;4-y;-4+y) C(2-y;-1-y;1+y)

D(8+ y;-4+ y;7-y) P(1- y;-4- y;-6+ y)

4.18 A(-14+y;3-y;-7+ y) B(-3- y;-4- y;-1+ y) C(-9-y;1+ y;-2-y)

D(y;-2-y;10-y) P(10-y;1-y;1+y)

4.19 А(-8+y;19-у;-2+y) В(-1+у;1+у;3+y) С(5-у;2+у;10-у)

D(l +у;-2+y; 1-у) Р(-1+y;4-у;-14+у)

4.20 А(-9+;2- у ;-2+у) В(-4+y;-6-у;-2+y) С(-5-у;-2+у;-6-у)

D(1+y;-9+ y +;-3- y ) Р(-3-у;-11-y;-12+у)

4.21 А(3+y;5-у;-5+у) В(-2+y;-9+y:-5+у) С(-12+y;9+у;4+y)

D(5+y;-2+y;-9+y) Р(2+у;6+у;6+у)

4.22 А(-6+у;-1+у ;-1+у) В(4+у;7+у;6+у) С(7+у;14-у;8+y)

D(-2-y ;-2+у;3+у) Р( 1 +y;3-у;-8+у)

4.23 А(-6+у;у ;-2-у) В(7+y;-5-у;3-у) С(-3-у;9+у;8+у)

D(8-y;9-y;3+y) P(-l-y;4+y;10-y)

4.24 А(-1+y:6+у;6+y) В(15-у;3+y;9-у) С(5+у;у;-4+у)

D(3+y;4+y;7+y) P( 11 -у; 11 -у; 14+y)

4.25 А(-1+y;8-у;-9+y) В(4+y;-3-у;6+y) С(2+y;3+у;4+y)

D(7+y;5+y;-7+y) Р(-3+y;6+y;9+y)

4.26 А(-2+у;6+y;11+y) В(-7+у;7+y;5+у) С(-12+у;15-у;4+y)

D(-3-y;-5+y;6+y) Р(-4+у;3-у;3+y)

4.27 А(-12+y;3+y ;-3+у) B(-3+y;-19-у;-7+y) С(7+y;9+y;8+y)

D(l+y;4+y;-13+y) P(-l+y;-2+y;11+y)

4.28 А(7+y;13-у;-6+у) В(-5+у;7+у;4+у) С(6+у;8+у; 11+у)

D(l+y;-5+y;12+y) P(-4+y;14-y;-7+y)

4.29 А(-4+y;7+y;-2+у) В(-7+y;3-у;-2+y) С(6-у;-6+у;-6+у)

D(-2+y;5+y;-3-y) Р(-2-у;-4-у;-1+y)

4.30 А(6+у;5-у ;-5+у) В(-2+y;7+у;8+y) С(4+y;6+y;5+y)

D(-2+y;2+y;-4+y) Р(-3+y;-5+у;5+y)

Методичні вказівки.

Розв'язання задачі. Дано такі координати точок

А(4+y;6+y;-1+y) В(7+у;2+у;4+у) С(-2+y;у;-4+y)

D(-1+y;1+у;-3+y) Р(-5+у;2+y;-2+у). Нехай у=1, тоді координати точок будуть такі:

А(5;7;0), В(8;3;5), C(-l;l;-3), D(0, 2, -2), Р(-4, 3, -1).

1.Рівняння площини, яка проходить через три точки:

А( x_1,y_1,z₁); В( х₂_,у₂_,z₂); С( x_3,y_3,z₃), має вигляд

(1)

Підставивши в (1) координати точок А,В,С, дістанемо

Розкладемо визначник, який записано зліва, по елементам першого рядка

(x-5)14-(y-7)7-14z=0

14x-7y-2z-3=0

2x-y-2z-3=0. (W) (2)

де - нормальний вектор площини.

2. Канонічне рівняння прямої в просторі мають вигляд

де - координати точки через яку проходить пряма (3); m,l,p-координати направленного вектора цієї прямої: = {m,l,p}. За умовою пряма проходить через точку Р(-4,3,-1) та перпендикулярна до площини W. Отже підставляючи в (3) замість координати точки Р, та взявши вектор = , тобто замість m,l,p в (3) підставляємо числа 2,-2,-2.

3. Для того, щоб знайти точки перетину прямої (4) з площиною (2), запишемо спочатку параметричні рівняння цієї прямої (4).

, де t-деякий параметр. Тоді рівняння прямої можна записати так:

x+4=2t; y-3=-t; z+1=-2t.

x=2t-4; y=-t+3; z=-2t-1.

Підставляючи в (5) значення , знаходимо координати точки К перетину прямої (4) з площиною W(2):

Одже К

Нехай К₁ - точка перетину прямої (4) з координатною площиною ХОУ; рівняння цієї площини z=0. При z=0, враховуючи (6), дістанемо:

Одже К₁

Нехай К₂ - точка перетину прямої (4) з координатною площиною ХОУ; рівняння цієї площини у=0. При у=0, враховуючи (6), дістанемо:

Отже К₂(2;0;-7).

Нехай К₃-точка перетину прямої (4) з координатною площиною YOZ; Рівняння цієї площини х=0. При х=0, враховуючи (6), дістанемо:

0=2t₃-4; t₃=2.

y=-2+3=1;z₃=-2*2-1=-5;x₃=0.

К₃ =

4. Відстань від точки до площини - це є найкоротша відстань, тобто дорівнює довжині перпендикуляра, який проведений з цієї точки до площини.

Так як точка Р розташована на прямій (4), яка перпендикулярна до площини W , і перетинається з площиною в точці К, то для знаходження відстані від точки Р до площини W достатньо знайти відстань між точками Р та К:

Отже РК=4 (лін.од).

Відстань d від точки P(x,y,z) до площини, яка має загальне рівняння

Ax+By+Cz+D=0 можна обчислити за такою формулою:

(7)

Підставляючи в формулу (7) замість х, у ,z- координати точки D={0,2,-2} та значення А=2, В=-1, С=-2, D=-3. Із загального рівняння (2) площини W, знайдемо шукану відстань d від точки D до площини W:

(лін.од.)

5. Так як пряма РК (4) перпендикулярна до площини W, то шукана точка М, яка розташована симетрично до точки Р, відносно площини W, знаходиться на прямій РК. Крім того, точка К є серединою відрізка РМ. Використовуючи формули для знаходження координат точки, яка ділить відрізок (в просторі) на дві рівні частини, знаходимо координати шуканої точки М:

Отже координати точки М .

Задача 5. В задачах 5.1 - 5.30 задані рівняння двох площин

p₁: А₁х+В₁у+С₁ z+D₁= 0; p₂: А₂х+В₂у+С₂z+D₂ = 0; та координати двох точок М₁(А₁,В₁,С₁), М₂(А₂,В₂,С₂). Значення

А₁, В₁, С₁, D₁... А₂ ,В₂ ,С₂, D₂ для кожного варіанту приведені в таблиці.

Номер варіанту	Значення
А₁	В₁	С₁	D₁	А₂	В₂	С₂	D₂

5.1	2+g	3+g	1+g	-1-g
5.2	-2-g	7+g	3+g	5+g
5.3	-1-g	5+g	-3+g	7+g	-8
5.4	5+g	-7+g	-2+g	-1+g		-1
5.5	3+g	-2+g	4+g	2+g				-1
5.6	6+g	-4+g	6+g	5+g
5.7	1+g	3+g	7+g	-3+g
5.8	8+g	2+g	-12+g	5+g	-1		-3
5.9	4+g	4+g	-6-g	-7+g	-8	-8		-4
5.10	5+g	5+g	5+g	4+g
5.11	6+g	7+g	2+g	8+g	-4
5.12	-1+g	6+g	-2+g	4+g		-5		-1
5.13	-2+g	4+g	-1+g	1+g		-4
5.14	7+g	3+g	7+g	-7+g	-7		-1	-1
5.15	3+g	-3-g	5+g	3+g				-7
5.16	4+g	-2-g	6+g	-4+g	-2
5.17	6+g	11+g	3+g	-7+g
5.18	-3+g	7+g	9+g	3+g			-3
5.19	5+g	-2+g	7+g	-8+g				-6
5.20	3+g	-1+g	-8+g	-5-g		-4	-2
5.21	2+g	7+g	6+g	-4-g	-1
5.22	5+g	5+g	4+g	2+g		-6
5.23	6+g	2+g	6-g	-2+g	-3
5.24	2+g	3+g	3-g	8+g			-5
5.25	5+g	-3-g	-1-g	4+g
5.26	3+g	2-g	8-g	-3+g
5.27	1+g	6+g	5+g	3+g	-1
5.28	7+g	-2+g	7+g	-5+g
5.29	8+g	2+g	3+g	4-g
5.30	4+g	6+g	-5+g	-7-g

Потрібно знайти:

1. канонічні та параметричні рівняння прямої, що задана як лінія перетину двох площин p₁ та p₂;

2. канонічні рівняння прямої, яка проходить через точки

3. величину гострого кута j, який утворює пряма С₁С₂з площиною p₁.

Методичні вказівки

Розв’язання задачі. Дано такі значення А₁=2+у, В₁=1+у, С₁=-2-у, D₁=-3-y, А₂=1, В₂=-2, D₂=2. Тоді якщо у=1, то А₁=3, В₁=2, С₁=-3, D₁=-4, А₂=1, В₂=-2, D₂=2. Отже рівняння площин p₁ та p₂ мають вигляд:

p₁: 3x+2y-3z-4=0

p₂: x-2y+3z+2=0

а їх нормальні вектори та , ( ^p_1, ^p₂).

Складемо систему з рівнянь площин p₁ та p₂

(1)

Це буде рівняння лінії перетину площин p₁ та p₂

1. Для того щоб записати канонічне рівняння прямої (1) у вигляді

(2)

Потрібно знайти координати довільної точки М(x₀,y₀,z₀), яка належить цій прямій (1), та координати направляючого вектора ║Р: . Якщо точка С₀є L, то С₀ є p₁ та p₂. Система рівнянь (1) – це система двох рівнянь з трьома невідомими, яка має безліч розв’язків (тобто пряма має безліч точок). Запишемо (1) у вигляді:

Візьмемо наприклад,z=1, тоді дістанемо 3x+2y=7, x-2y=-5, а звідси

4x=2, , y=11

Отже, шукана точкаС₀

Так як нормальні вектори перпендикулярні до Р, крім того ║Р, тому перпендикулярні до . Отже за направляючий вектором для прямої Р можна взяти вектор, який дорівнює векторному добутку нормальних векторів , або колінеарній йому: