 |
|
Прямая линия на плоскости.
Векторная алгебра.
Условие коллинеарности(параллельности) векторов 
и 
: 
или 
, где 
.
Орт вектора 
- вектор 
, имеющий единичную длину и направление вектора : 
.
Проекция вектора на вектор - число 
.
Действия над векторами в координатной форме:
; 
.
Длина 
вектора 
: 
.
Направляющие косинусывектора - числа:
, 
, 
, при этом 
.
Координаты вектора 
, заданного точками 
и 
: 
.
Расстояние 
между точками 
и 
:
.
Координаты точки 
делящей отрезок 
пополам: 
, 
, 
.
Скалярное произведение векторов.
Скалярное произведениененулевых векторов и - число: 
.
Скалярное произведение обладает свойствами:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
,где 
- число;
Для векторов канонического базиса 
: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Некоторые приложения скалярного произведения:
1) Вычисление угла между векторами и : 
.
2) Нахождение проекции вектора на вектор : 
.
3) Вычисление длины вектора 
: 
4) Установление перпендикулярности векторов и : 
.
Векторное произведение векторов.
Векторное произведение векторов 
и 
- вектор 
, определяемый условиями:
1) 
; 2) 
и 
; 3) 
- правая тройка векторов.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) 
; 2) 
3) 
; 4) 
,где - число;
Для векторов канонического базиса : 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Для векторов и , заданных координатами 
, 
: 
Некоторые приложениявекторного произведения:
1) Вычисление площадей треугольника и параллелограмма: 
.
2) Установление параллельности векторов и : 
.
Смешанное произведение векторов.
Смешанное произведение упорядоченной тройки векторов , и 
- число 
. Смешанное произведение обладает свойствами:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
и
-компланарны
;
Некоторые приложениясмешанного произведения:
1) Вычисление объёмов тетраэдра и параллелепипеда: 
.
2) Установление компланарности векторов , и : 
и 
- компланарны.
3)Установление принадлежности четырёх точек 
одной плоскости: 
Прямая линия на плоскости.
1) 
- общее уравнение прямой, где 
- нормальный вектор прямой;
2) 
- уравнение прямой, проходящей через точку 
вектору 
;
3) 
- уравнение прямой, проходящей через точку 
вектору 
(каноническое уравнение);
4) 
- уравнение прямой, проходящей через две данные точки 
, 
;
5) 
-уравнения прямой с угловым коэффициентом 
, где - точка через которую прямая проходит; 
( 
) – угол прямой осью 
; 
- длина отрезка (со знаком 
), отсекаемого прямой на оси 
( « 
», если на положительной части оси и « 
», если на отрицательной).
6) 
-уравнение прямой в отрезках, где 
и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и ( « », если на положительной части оси и « », если на отрицательной).
Расстояние от точки 
до прямой 
: 
.
Угол 
, ( 
) между прямыми 
и 
: 
; 
.
, если 
или 
.
,если 
или 
Координаты точки пересечения прямых и : 
или 
.