 |
|
Законы Кирхгофа в операторной форме.
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю
.
Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура:
,
где m – число ветвей, входящих в контур.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде
.
Когда получается сложное изображение, которого нет в справочниках, то его раскладывают на более простые, используя теорему разложения
L-изображения S(p).
Если изображение S(p) представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:
,
причем m ³ n, а уравнение M(p) = 0 не имеет кратных корней 
, то для перехода к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения
.
где M¢(p) – первая производная знаменателя по p: M¢(p)=dM(p)/dp.
5.8. Метод интеграла Дюамеля
Он позволяет находить отклик цепи при нулевых начальных условиях при произвольном входном сигнале и известной переходной (или импульсной) характеристике цепи h(t) (рис. 5.23).
Произвольный импульсный сигнал (рис. 5.24) заменим совокупностью элементарных ступенчатых сигналов с амплитудами ∆х, возникающими в моменты времени τк со сдвигом по времени на 
.
Рис.5.23 Рис. 5.24
Как следует из рис.5.24, х0 – амплитуда нулевого ступенчатого сигнала. Тогда отклик на него 
; 
– амплитуда элементарного ступенчатого сигнала, рассчитывается из выражения 
, где х' (τк) – производная от сигнала в момент времени τк, она равна тангенсу угла наклона сигнала в момент времени τк. Тогда отклик на элементарный ступенчатый сигнал 
.
Используя принцип суперпозиции и переходя к пределу суммы при Δτ→0 (Δτ = dτ), можно записать
.
Последнее выражение и называется интегралом Дюамеля. Оно позволяет получить отклик на заданное воздействие в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование ведется по τ – текущее время (0 < τ < t), причем выражения х'(τ) и h(t – τ) получают из выражений для х(t) и h(t) путем замены t на τ и t – τ.
5.8. Связь между дифференциальным уравнением
и характеристиками электрической цепи
1) Для линейной цепи при произвольном входном сигнале х(t) связь между выходным и входным сигналом записывается в виде дифференциального уравнения
.
2) Связь дифференциального уравнения с частотной передаточной
функцией.
По определению, частотная функция есть H(jω)= 
.
Если входной сигнал гармонический
,
если цепь линейная, то выходной сигнал обязательно гармонический:
.
Подставим (6.1) и (6.2) в дифференциальное уравнение
В результате получим
.
3) Связь частотной с операторной функцией цепи Н(р).
По определению, Н(р) = H(jω)|jω→p. Отсюда
.
4) Связь между импульсной и переходной характеристикой g(t) и h(t). Так как 
, то 
.
5) Связь между g(t) и H(jω), H(p).
Из спектрального анализа следует выходной сигнал
.
Если 
, то спектр 
. Следовательно, импульсная характеристика 
– это обратное преобразование Фурье (ОПФ) частотной функции цепи, а частотная функция 
– прямое преобразование Фурье (ППФ) импульсной характеристики.
Таким образом, все способы описания электрической цепи связаны между собой.
Контрольные вопросы
1. с чем связано возникновение переходных процессов в электрической цепи?
2. В чем заключается классический и спектральный методы анализа линейных цепей?
3. В чем заключается суть анализа линейных цепей методом интеграла Дюамеля?
4. Каков характер переходной характеристики в цепи первого порядка?
5. Как формулируются законы коммутации?
6. Какими основными свойствами обладает единичная функция?
7. Как дифференцирующая и интегрирующая цепи влияют на импульсные сигналы?
8. На вход цепи с операторной передаточной функцией вида Ku(p) = (1+pτ)–1 воздействует гармонический сигнал s1(t)=A cos(ωt). Записать отклик.
9. В каких задачах удобен спектральный метод анализа?
10. Для каких целей применяется интегрирующая цепь?
11. Как связаны между собой импульсная и переходная характеристика линейной цепи?