Односторонние пределыСтр 1 из 2Следующая ⇒
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Предел функции в точке Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо. Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке. Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x0 (или при х® хо), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n є N (xn¹x0), сходящейся к хо последовательность соответствующих значений функции ƒ(хn), n є N, сходится к числу А В этом случае пишут Определение 2 (на «языке ε», или по Коши). Число А называется пределом функции в точке хо (или при х→хо), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹хо, удовлетворяющих неравенству |х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Геометрический смысл предела функции: если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки хо, что для всех х¹хо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε). << Пример 16.1 Доказать, что Решение: Возьмем произвольное ε>0, найдем δ=δ(ε)>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3| < δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε. Взяв δ=ε/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3. << Пример 16.2 Односторонние пределы В определении предела функции считается, что х стремится к x0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x0 (слева от х0), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки x0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов. Число А1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке хо, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х0-δ;xo), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х0-0 или коротко: ƒ(хо-0)=А1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111). Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов: Коротко предел справа обозначают ƒ(хо+0)=А. Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А1=А2. Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х0-0) и ƒ(х0+0) и они равны, то существует предел и А=ƒ(х0-0). Если же А1¹А2, то етот придел не существует. 16.3. Предел функции при х ® ∞ Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞, если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так: Геометрический смысл этого определения таков: для "ε>0 $ М>0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|