Классическое аналитическое решение

ВКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПИ ПОД ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ

Электрическая цепь имеет параметры L = 4 H, С = 10 мкФ, R₁ = 100 Ом, R₂ = 2000 Ом и включается под постоянное напряжение U = 1,05 В (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Электрическая цепь

Классическое аналитическое решение

Рассмотрим определение значений токов и напряжений в начале переходного процесса, в установившемся режиме и затем в течение переходного процесса, учитывая, что переходный процесс со временем будет заканчиваться установившемся режимом.

Начальные условия данной цепи нужно найти для всех токов и напряжений и их производных, т.е. для i_L, u_C, i_C, i₂, i_C^’, i₂^’,i_L^’, u_C^’. Начальные условия для тока в индуктивном элементе и напряжения в емкостном элементе принято называть независимыми от переходного процесса и определять из условий коммутации. Все другие имеют зависимые от переходного процесса начальные условия.

Начальные условия для независимых начальных условий имеют вид

и являются следствием того, что мощность в электрической цепи величина всегда конечная. Действительно, в любой электрической цепи не могут возникать при коммутации бесконечно большие напряжения или бесконечно большие токи. Поэтому не может иметь место мгновенное изменение накопленной электрической и магнитной энергии в цепи: откуда но так как , то равенство означает, что

Воспользуемся условиями коммутации для определения начальных условий. До коммутации имеем

Откуда получаем, что

Для определения зависимых начальных условий по закону Кирхгофа записываем уравнения переходного процесса:

Для шести зависимых начальных условий получим шесть уравнений, которые включают три уравнения переходного процесса, два продифференцированных уравнения переходного процесса, не содержащие производных, и уравнение связи емкостного тока и напряжения:

При t = 0 систему из шести уравнений для следующего порядка расположения в строке зависимых начальных условий i_C, i₂, i_C^’, i₂^’,i_L^’, u_C^’ удобно записать в матричном виде:

При решении системы уравнений учитываем, что i_L(0)=0 и u_C(0). Тогда значение вектора зависимых начальных условий равняется:

= .

Установившийся режим цепи (рис. 7.1) на постоянном токе рассчитывается при закороченной индуктивности и отключённой ёмкости. Значения токов и напряжений получаются следующими:

Переходный процесспосле коммутации цепи (включение цепи под напряжение) определяется корнями определителя следующей системы уравнений

i_L i_C i₂

Два комплексно сопряжённых корня указывают на то, что переходный процесс будет колебательным.

Искомые токи и напряжения записываются в виде суммы переходных и установившихся значений (свободных и принуждённых). К искомым переменным добавляем их производные и получаем восемь уравнений для определения восьми постоянных интегрирования:

Записываем полученные уравнения для начального момента времени t=0 и приравниваем значения переменных их начальным значениям. Тогда получим

В матричном виде система уравнений имеет вид:

После определения постоянных можно рассчитать зависимости токов и напряжения от времени (вычислительная программа на Mathcad’e приводится в приложении 1).

График изменения напряжения на ёмкости построен на рис. 7.2. Этот график полностью совпадает с графиком, полученным из решения дифференциального уравнения и рассчитанным по следующему выражению

При включении цепи под постоянное напряжение возникает переходный процесс с затухающим синусоидальным колебанием при угловой частоте ω = 157,62 рад/c и периодом собственных колебаний

Таким образом, при включении цепи даже под постоянное напряжение возникает помеха, которая характеризуется как превышением, так и колебанием напряжения с определённой частотой. Отметим, что частоту собственных свободных колебаний можно было найти и без решения дифференциального уравнения на основе матрицы узловых проводимостей (источники напряжения закорачиваются):

Рассмотрим, какие возможности для оценки перенапряжений появляются при использовании пакетов Electronics Workbench (EWB 5.0) и MatLab (7.0).