Главная | Обратная связь

Закон 3/2 в цилиндрической и сферической геометриях

 

В случае вакуумного промежутка между коаксиальными цилиндрами потенциалявляется функцией только расстояния r от оси, и уравнение Пуассона можно за­писать в виде

(20)

В этом случае плотность заряда определяется выражением

ρ = —i/(2πrv)= -i₁/(2πr ). (21)

где i₁ — электронный ток на единицу длины. Аналитическое решение этого уравнения не найдено, но Ленгмюр предложил записать ВАХ в виде

i₁ =(8 πε₀/9) U^3/2 /r β² (22)

где β² — функция отношения радиуса r крадиусу эмиттера r₀. Ленгмюр и Блоджетт получили функцию β в виде ряда. Полученные ими значения приведены ниже в таблице. Величины β² для сходящегося потока (r < r₀, т.е эмиттером является внутренняя поверхность внешнего цилиндра) обозначены как (-β²).

В случае концентрических сфер уравнение Пуассона можно записать в виде

. (23)

где

ρ = -i/4πr²v, (24)

где i - полный ток, протекающий в системе. Как и в случае коаксиальных цилиндров, аналитическое решение этого уравнения не найдено, но Ленгмюр и Блоджетт представили решение в виде

i = (16πε₀ / 9) U^3/2/α², (25)

где параметр α² определялся либо в виде ряда, либо в виде ин­теграла. Некоторые значения α² также приведены в таблице. Там же приведены значения функции (-α²), рассчитанной для случая сходящегося потока, когда электроны эмитируются с внутренней поверхности сферы большего радиуса и ускоряются в сторону сферы меньшего радиуса.

 

Таблица. Поправочные функции в законе 3/2 для случаев цилиндрической и сферической геометрий. r0 — радиус эмиттера, r — радиус коллектора; параметры β2 и α2 соответствуют расходящемуся потоку, т.е. r>r0; (-β2) и (-α2)- сходящемуся потоку, т.е. r<r0.

 

Дополнение. Решение задачи о вакуумном диоде с термокатодом в плоской геометрии на кинетическом уровне

 

Обозначим через x_m точку в которой потенциал достигает минимального значения . Левее этой точки поле является тормозящим, а правее ускоряющим. В самой этой точке напряженность поля обращается в 0.

 

х_m