Область тормозящего поля
Определим функцию распределения и концентрацию частиц в области тормозящего поля. Кинетическое уравнение в данном случае примет вид . (6) так как в вакууме столкновений нет, следовательно I=0, кроме того считаем, что поперечные размеры электродов существенно превышают расстояние между ними, тогда задача является одномерной, и наконец . Нетрудно убедиться, что решением этого уравнения является любая функция, аргументом которой является комбинация mvх2/2 - ej(x). Действительно подставляя в уравнение f(mvх2/2-ej(x)) и дифференцируя получим -vх = 0, (7) но из всех возможных функций необходимо выбрать такую, которая будет удовлетворять граничному условию (1). В данном случае эта функция имеет вид f(x,vх ) = , при vx>vm, (8) f(x,vх ) = 0, при vx<vm, Под в данном случае следует понимать величину (9) Такой скоростью в сечении х будут обладать частицы, энергии которых хватило на то, чтобы достигнуть точки хm с нулевой скоростью, и отброшенные назад. Частицы же, обладавшие при вылете из накаливаемого электрода энергией, превышающей -еjm попадут в область ускоряющего поля. Интересно отметить, что в точке хm, т.е. после преодоления тормозящего поля, функция распределения по скоростям является полумаксвелловской, как и функция распределения эмитированных частиц, f(xm,vх ) = , при vx>0, (10) но число частиц, очевидно, меньше, чем число частиц, испущенных накаленным электродом. Именно эти частицы, преодолевшие область тормозящего поля и попавшие в область ускорения, дадут вклад в ток, а частицы с меньшей энергией, двигающиеся сначала вперед, а затем назад в итоге не дадут вклада в ток. Умножая f на еvх и интегрируя по dvх получим плотность тока j = en0exp(ejm/kT) (11) Для определения концентрации нужно проинтегрировать f по скоростям. Интеграл может быть приведен к так называемому интегралу ошибок erf(х) = (12) Здесь введены безразмерные переменные ; (13) Домножив и разделив на 2/p1/2 и представив интеграл в виде суммы двух интегралов, один из которых берется в пределах от 0 до ¥ и равен 1, а другой в пределах от - до 0, а также заменяя n0exp(ejm/kT) на j/e получим . (14) Полученное выражение несколько отличается от хорошо известного Больцмановского распределения для частиц в тормозящем поле, которое справедливо при отсутствии тока, и которое может быть получено из записанного выражения при предельном переходе jm ® - ¥, когда все эмитированные частицы отразятся от потенциального барьера. При небольшом барьере и, соответственно, при большом токе отклонение от Больцмановского распределения может быть существенным. В то же время, несмотря на это, спад плотности тока согласно (11) определяется как раз законом Больцмана при любой величине тормозящего поля. При наличии объемного заряда для нахождения распределения потенциала в промежутке необходимо решать уравнение Пуассона (15) Подставляя (14) в (15) и заменяя в левой части j на h в соответствие с (11) получаем (14) Введем безразмерную координату 15) и запишем уравнение Пуассона в более компактном виде (16) Полученное дифференциальное уравнение следует решать с граничными условиями при x=0. Умножаем обе части на 2 и интегрируем по dx от 0 до x. Делая слева замену переменной интегрирования , а справа получаем (17) Извлекаем квадратный корень, разделяем переменные и интегрируем - (18) В аналитических функциях интеграл не выражается. Связь величин x и h получена в виде таблиц.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|