 |
|
МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ
В последние годы в связи с распространением электронно-вычислительных машин наблюдается ярко выраженное стремление к применению для решения задач расчета сложных упругих систем методов линейной алгебры. Этим объясняется широкое проникновение теории матриц в строительную механику. Действия с матрицами легко программируются и открывают большие возможности к использованию стандартных подпрограмм для перемножения, обращения матриц и отыскания их собственных значений.
Применение матричных методов, как правило, сопровождается заменой континуальной упруго-инерционной системы моделью, состоящей из конечного числа более простых элементов.
Реализациями матричных методов являются метод начальных параметров, метод коэффициента динамической жесткости, метод ортогональной прогонки, конечно-разностный метод, метод конечных элементов.
Остановимся подробней на существе этих методов.
МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Основная идея этого метода может быть показана на примере расчета свободных колебаний балки переменного сечения.
Движение такой балки описывается, как известно, дифференциальным уравнением в частных производных с переменными коэффициентами: 
или в амплитудных значениях перемещений 
с соответствующими граничными условиями определенными, как правило, по два на каждом конце балки.
Эта краевая задача при произвольных переменных коэффициентаx В и т точного решения не имеет. Поэтому рекомендуется переменное сечение заменить условно балкой, состоящей из п однородных участков с осредненной по длине каждого из погонной жесткостью и массой.
Теперь уравнение движения каждого из участков имеет постоянные коэффициент 
, и его решение с использованием 
(Li – длина i-го участка балки) может быть 
. Здесь используются функции Крылова: 
, 
, обладающие свойствами 
; 
; 
; 
.
На основе известных зависимостей, связывающих угол поворота φ1, изгибающий момент М и перерезывающую силу Q можно написать, что
Если обозначить соответствующие величины на левом конце балки как 
, 
, 
и 
, то можно получить равенство для первого участка:
Полагая в этих равенствах х = L1, получим значения перемещения угла поворота, момента и перерезывавшей силы на правом первого участка.
Используя условия сопряжения на границах участков, мы можем исключить неизвестные величины в точках сопряжений и выразить 
, 
, 
и 
через соответствующие значения на левом конце балки.
Повторяя эти операции на каждом участие балки, придем к выражениям для ее правого конца
Как правило, граничные условия для балки бывают однородными. Примем для определенности, что 
и 
, отсюда:
(4.2.2)
Так как М0 и Q0 отличны от нулей, то для нетривиальности решения системы уравнений (4.2.10) необходимо потребовать обращения в нуль определителя:
Это уравнение определяет квадраты частот собственных колебаний ω2 балки.
Для упрощения процесса составления формул (4.2.1) введем в рассмотрение матрицу-столбец четвертого порядка:
и квадратную матрицу четвертого порядка:
Тогда соотношения (4.2.1) можно переписать в виде одного матричного равенства:
(4.2.3)
Каждая из формул (4.2.3) символизирует перенос столбца с одного конца участка в другой. Поэтому формулы (4.2.3) получили название формул переноса, а матрица D - матрицы переноса. Записывая при одинаковых li условия сопряжения участников в виде
, где 
,
и исключая из соотношений промежуточные значения матриц η(х), получим 
, где D = D1D2 … Dn – матрица переноса всей балки полученная как произведение матриц переноса участков.
Частотное уравнениеможно получить, приравнивая нулю определитель системы (4.2.4):
Заметим, что метод начальных параметров позволяет производить расчет не только прямолинейных стержней, но исложных пространственных стержневых систем, элементы которых соединятся между собой под углом, а также с различного рода промежуточными опорами и сосредоточенными массами. Естественно, что это накладывает особенности на построение матрицы переноса.
Все операции с матрицами, как было отмечено выше, легко поддаются программированию и позволяют использовать стандартные подпрограммы. Однако следует записать, что при расчете балок переменного сечения на погрешность замены ее описанной выше моделью и, по-видимому, понижающейся с увеличением числа участков накладываются погрешности машинного счета, которые с ростом числа участков увеличиваются.
Тем самым точность расчета имеет определенные ограничения.