Здавалка
Главная | Обратная связь

Построение математической модели



Постановка задачи

Найти распределение температуры в стержне длины 2 с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура определяется функцией . Размерности физических величин опускаем

Построение математической модели

При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:

1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;
3) стержень тонкий - это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 1) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.

Рис. 1

Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С - удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S - площадь поперечного сечения.

Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q1 = -kSUx(x, t)∆t, где k - коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°).

Аналогично, тепловой поток через правый конец участка стержня вычисляется по формуле: Q2 = -kSUx(x +∆x,t)∆t.

Если предположить, что внутренних источников тепла в стержне нет, и воспользоваться законом сохранения тепла, то получим:

∆Q = Q1 - Q2 => CpS∆x∆U = kSUx(x + ∆х, t) ∆t - kSUx(x, t)∆t.

Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:

так как

Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

Ut =a2Uxx,

где - коэффициент температуропроводности.

Граничные условия.

U|х=0= 0 , U|х=l = 0. Такие условия возникают в следующей задаче.

Условия первого рода означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g1(t) ≡ Т1 и g2(t) ≡ Т2, где Т1 и Т2 - постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т1= Т2 = 0 и условия будут однородными.

В результате получаем начально-краевую задачу имеющую единственное решение.

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.