Построение математической моделиСтр 1 из 2Следующая ⇒
Постановка задачи Найти распределение температуры в стержне длины 2 с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура определяется функцией . Размерности физических величин опускаем Построение математической модели При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения: 1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ; Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 1) и воспользуемся законом сохранения количества тепла: Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками. Рис. 1 Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С - удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S - площадь поперечного сечения. Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q1 = -kSUx(x, t)∆t, где k - коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). Аналогично, тепловой поток через правый конец участка стержня вычисляется по формуле: Q2 = -kSUx(x +∆x,t)∆t. Если предположить, что внутренних источников тепла в стержне нет, и воспользоваться законом сохранения тепла, то получим: ∆Q = Q1 - Q2 => CpS∆x∆U = kSUx(x + ∆х, t) ∆t - kSUx(x, t)∆t. Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь: так как Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид Ut =a2Uxx, где - коэффициент температуропроводности. Граничные условия. U|х=0= 0 , U|х=l = 0. Такие условия возникают в следующей задаче. Условия первого рода означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g1(t) ≡ Т1 и g2(t) ≡ Т2, где Т1 и Т2 - постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т1= Т2 = 0 и условия будут однородными. В результате получаем начально-краевую задачу имеющую единственное решение.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|