Здавалка
Главная | Обратная связь

Численный метод решения задачи



Построение разностной схемы решения задачи

Найдем решение

, (1.1)

на отрезке [a, b] в течение промежутка времени при следующих начальных и краевых условиях.

Известно, что в начальный момент времени t = 0 задано распределение функции .

Как видно из уравнения (1.1), его решение зависит от двух переменных: t – времени и x – пространства. Выберем систему координат так, чтобы в ней переменная x менялась вдоль оси абсцисс, а переменная t – вдоль оси ординат (рис. 1).

Рис. 1

Для решения уравнения (1.1) конечно-разностным методом построим конечно-разностную сетку, покрывающую прямоугольник . Координаты узлов сетки, образованные пересечением вертикальных и горизонтальных отрезков, определяются по формулам , , где – шаг по пространству, ; – шаг по времени, . Здесь , .

Запишем конечно-разностную схему для уравнения (1.1), используя для производных по времени и пространству следующий шаблон (рис. 2):

, ,

Тогда

, (1.2)

где , .

Здесь – сеточная функция, соответствующая значению непрерывной функции в точке .

 

 

Рис. 2

 

Из (1.2) видно, что для получения решения на верхнем k+1временном слое в i-ом узле необходимо знать три значения функции u(x,t) на нижнем k-ом временном слое, а именно, значения в узлах i – 1, i, i + 1.

Полученная явная разностная схема (1.2) обладает первым порядком аппроксимации по времени и вторым порядком по пространству . Условие устойчивости разностной схемы будет иметь вид: .

Приложение

Построенное решение реализуем в пакете MathCad.

Код программы для разностной схемы

Результаты вычислений

Были проведены расчеты для начального нагрева . Построены графики для двух временных интервалов Т=0.1 и Т=0.2. Из рисунков видно, что стержень по истечению времени Т=0.2 по температурному режиму приходит в состояние равновесия.

T=0.1

T=0.2

Список литературы

Арефьев В.Н. Лекции по «Уравнениям математической физики» Московский Государственный Строительный Университет

А.Н.Тихонов, А.А.Самарский Уравнения математической физики.

Плис А. И., Плис И. А., Сливина Н. А., Узлов А. А. Уравнения математической физики. Пособие для практических занятий и
самостоятельной работы в среде Mathcad

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.