Рекомендовано кафедрой электротехники и прецизионных электромеханических систем СПб ГУ ИТМО (ТУ), протокол № 10 от 21 мая 2004 г.

В краткой записи: i_L (0_- ) = i_L (0₊) и u_C (0_- ) = u_C (0₊).

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ВТОРОГО

ПОРЯДКА С НУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Рассчитываем i_L(t) и u_C(t) для t ³ 0.

Составляем решение для каждой из этих величин в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

i_L(t) = i_Lпр + i_Lсв;

u_C(t) = u_LCпр + u_Cсв.

Одна составляющая “принуждена” к существованию источником ЭДС Е, повторяет его форму и остается неизменной в течение переходного процесса. Последнее обстоятельство позволяет определить эту составляющую по окончании переходного процесса. При этом удобно воспользоваться

схемой, составленной именно для момента времени t = ¥. Т. к. режим установившийся, то u_C(¥) = сonst, i_C(¥) = 0, i_L(¥) = сonst, u_L(¥) = 0.

Эти соотношения позволяют емкость представить разрывом ветви, а индукивность – коротким замыканием.

Другая составляющая “свободна” свободна от воздействия источника и существует за счет изменения энергии в электрическом и магнитном полях индуктивного и емкостного элементов:

i_Lсв = A×e^{×l t} + B×e^{l t}, u_Cсв = C×e^{l t} + D×e^{l t}.

A, B, C и D – постоянные интегрирования; l - корни харакеристического уравнения. Это уравнение “запрограммировано” в сопротивлении Z(l), записанном относительно зажимов любой из трех разорванных ветвей следующей схемы. Так для средней ветви это сопротивление, приравненное нулю, и будет характеристическим

После преобразований получаем l² + 11×10³ ×l + 2×10⁷ = 0. Корни этого уравнения: l₁ = - 2300 и l₂ = - 8700.

Составляем решение, объединяя принужденную и свободную составляющие i_L(t) = i_Lпр + i_Lсв = i_L(¥) + A×e^-2300×t + B×e^-8700×t,

u_C(t) = u_LCпр + u_Cсв = u_C(¥) + C×e^-2300×t + D×e^-8700×t.

Последние два уравнения принимают вид

i_L(t) = 0,1 + A×e^-2300×t + B×e^-8700×t, u_C(t) = 100 + C×e^-2300×t + D×e^-8700×t.

Определяя постоянные интегрирования A, B, C и D, составляем две системы уравнений. Для чего рассматриваем i_L(t), u_C(t) и их производные сразу после коммутации. Производные от тока и напряжения имеют физический смысл: L× di_L /dt = u_L(t), C× du_C /dt = i_C(t).

Схема замещения в момент t(0₊) будет:

Напряжение u_L(t) = L× di_L /dt = 0,1[-2300×A×e^-2300×t-8700×B×e^-8700×t] в момент t = 0₊, с учетом u_L(0₊) = 0, будет

u_L(0₊) = 0,1[ -2300×A -8700×B] или 2,3×A + 8,7×B = 0.

Напряжение u_C(t) = 100 + C×e^-2300×t + D×e^-8700×t в момент t = 0₊, с учетом

u_C(0₊) = 0, будет:

u_C(0₊) = 100 + C + D или C + D = - 100 .

Ток i_C(t) = C× du_C /dt = 10^-6[-2300×C×e^-2300×t-8700×D×e^-8700×t] для t = 0₊, с учетом i_C(0₊) = 0,2A, будет:

0,2 = 10^-6[- 2300×C - 8700×D] или 2,3×C + 8,7×D = -200.

Располагаем двумя системами уравнений:

A + B = - 0,1; C + D = - 100;

2,3×A + 8,7×B = 0. 2,3×C + 8,7×D = - 200.

Решая системы, получаем значения постоянных интегрирования:

А = - 0,1359 и В = - 0,0359; C = -104,7 и D = - 4,7.

Подставляя значения A, B, C и D в составленные ранее решения, получаем ток в индуктивности и напряжение на емкости в виде функций времени

i_L(t) = 0,1 - 0,1359×e^-2300t + 0,0359e^-8700t,[A];

u_C(t) = 100 - 104,7×e^-2300t + 4,7e^-8700t,[B].

Полученные соотношения дают возможность определить остальные токи и напряжения

i_C(t) = C du_C/dt = 10^-6×[104,7×2300×e^-2300t - 4,7×8700×e^-8700t] =

=0,2406×e^-2300t -0,0406×e^-8700t [A];

u_L(t) = L di_L/dt = 0,1×[0,1359×2300×e^-2300t - 0,0359×8700×e^-8700t] =

=31,26×e^-2300t -31,26×e^-8700t [B];

i(t) = i_L + i_C = 0,1 + 0,1047×e^-2300t - 0,0047×e^-8700t[A].

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА КЛАССИЧЕСКИМ

МЕТОДОМ ПРИ НЕНУЛЕВЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

Рассматриваем цепь в различные моменты времени.

Установившийся режим к моменту коммутации ® t = 0_-.

Режим сразу после коммутации ® t=0₊.

В контуре E =u(0₊)+ u_L(0₊); u_L(0₊ ) = 450 -400 =50[B].

i(0₊ )= i¢(0₊) + i¢¢(0₊) = 1 A, i_с(0₊ )= i¢_c(0₊) + i¢¢_c(0₊) = 0.

Установившийся режим по окончании переходного процесса ® t=¥.

Рассчитываем значения корней характеристического уравнения.

		l2 + 119 ×l + 4,762 ×104 = 0; l1,2 = - 59,5 ± j ×210.

Установили следующее:

- в анализируемой цепи имеют место ненулевые начальные условия:

i_L(0₊ )= i_L(0_ )= 1 A, u_C(0₊ )= u_C(0_ )= 50 B;

- сразу после коммутации:

u_L(0₊ )= 50 B, i_C(0₊ )= 0;

эти значения понадобятся при определении постоянных интегрирования;

- корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные; цепь работает в режиме затухающих гармонических колебаний;

Располагая данной информацией составляем решение для искомых величин i_L(t) и u_C(t) поочередно.

Решение для тока в индуктивности

i_L(t) = i_Lпр(t) + i_Lсв(t) = i_L(¥) + A×e^l1×t + B×e^l2×t . _*

Для расчета постоянных интегрирования А и В воспользуемся первым законом коммутации i_L(0₊) = i_L(0_-) =1 A .

Решение * при t = 0₊ будет i_L(0₊) = i_L(¥) + A× 1+ B× 1.

Дифференцируем * и умножаем на L L(di_L/dt) = L(A l₁e^l1×t + B l₂ e^l2×t ).

Это уравнение в момент времени t=0₊ будет u_L(0₊) = L(A l₁+B l₂).

Первое и второе уравнения составляют систему для определения постоянных А, В ¯. После подстановки значений ¯.

А + В = i_L(0₊) - i_L(¥), A + B = 1-1,125,

A l₁+B l₂ = u_L(0₊) /L. (-59,5 + j210)×A+(-59,5 - j210)×B = 50/0,2.

Значения постоянных интегрирования следующие -

A= - 0,0625 - j ×0,5775 = 0,5809×e^-j96,2°; B= - 0,0625 + j ×0,5775 = 0,5809×e^j96,2°.

Подставляем значения i_L(¥), A и B в решение *. Ток в индуктивности будет

i_L(t) =1,125+0,581×e^-j96,2°×e^-59,5×t×e^j210×t +0,581×e^j96,2°×e^-59,5×t×e^-j210×t =

= 1,125+ 0,581×e^-59,5×t[e^{j(210×t-96,2°)} + e^{-j(210×t-96,2°)}] =

=1,125+1,162×e^-59,5×t×cos(210×t -96,2°), [A].

Решение для напряжения на емкости

u_C(t) = u_Cпр(t) + u_Cсв(t) = 0 + D×e^{l1× t} + F×e^l2×t . _{* *}

Для расчета значений постоянных интегрирования D и F воспользуемся вторым законом коммутации u_C(0₊) = u_LC(0_-) =50 B.

Решение ** при t = 0₊ будет u_C(0₊) = D + F.

Дифференцируем ** и умножаем на C C(du_C/dt) = C(D l₁e^l1×t + F l₂ e^l2×t ).

Это уравнение в момент времени t=0₊ будет i_C(0₊) = C( D l₁+F l₂).

Третье и четвертое уравнения составляют систему для определения постоянных D, F ¯. После подстановки значений ¯.

D + F = u_C(0₊), D + F = 50,

D l₁+F l₂ = i_C(0₊) /C. (-59,5 + j210)×D+(-59,5 - j210)×F = 0.

Значения постоянных интегрирования D =26×e^j15,8°; F = 26×e^-j15,8°.

Подставляем значения D и F в решение **. Напряжение на емкости будет

u_C(t) =26×e^j15,8°×e^-59,5×t×e^j210×t +26×e^-j15,8°×e^-59,5×t×e^-j210×t = =26×e^-59,5×t[e^{j(210×t+15,8°)} + e^{-j(210×t+15,8°)}] = 52×e^-59,5×t×cos(210×t +15,8°), [B].

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

		Для анализа воспользуемся методом контурных токов. Ü Указываем положительные направления токов и записываем систему уравнений.

Рассчитав корни полинома знаменателя: p₁ = 0; p_2,3 = - 59,5± j 210, записываем полином в мультипликативной форме.

Обратное преобразование выполняем по теореме вычетов.

.

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЭЛЕКТРИЧСКОЙ ЦЕПИ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ

Выполняем анализ в интервале t ³0. Переменные состояния - i_L(t), u_C(t).

Это уравнение подставляем в и записываем относительно di_L/dt.

В последние два уравнения подставляем значения: R₁ = 400 Ом, R₂ = 20 Ом, C = 10^-4 Ф, L = 0,2Гн, E = 450 B.

di_L/dt = 107,1 -95,24 × i_L + 4,762 × u_C;

du_C/dt = 107,1× 10⁴ -95,24 ×10⁴ × i_L + 23,81 × u_C.

Уравнения разрешены относительно первых производных переменных состояния; в правых частях лишь константы и переменные состояния.

Составляем характеристическое уравнение Z(l) = 0.

В цепи токи и напряжения изменяются по гармоническому закону с угловой частотой w_c =210[1/c], T_c = » 0,03[c] и затухают во времени; время интегрирования выбираем равным 5×T_c = 0,15[c]. Число точек приближен-ного решения – 500.

ЗАДАНИЕ 1. Выполнить анализ переходного процесса в цепи первого порядка. Схема цепи изображена на рис.1 в обобщенном виде. Начальные условия нулевые.

Рис.1

Перед исследованием необходимо составить схему цепи, воспользовавшись информацией таблицы. В качестве примера на рис. 2 изображена схема с параметрами 24-го варианта таблицы 1.

Рис. 2

Методом, рекомендованным преподавателем, рассчитать i(t), u(t) в момент коммутации и после нее. Представить обе величины графиками в интервале времени 0 ¸ 4t [c].

Таблица 1

ЗАДАНИЕ 2. Выполнить анализ переходного процесса в цепи первого порядка. Схема цепи изображена на рис.1 в обобщенном виде. Начальные условия нулевые.

Рис.1

Перед исследованием необходимо составить схему цепи, воспользовавшись информацией таблицы. В качестве примера на рис. 2 изображена схема с параметрами 24-го варианта таблицы 2.

		В данном варианте четвертого элемента нет, поэтому он закорочен.

Рис. 2

Методом, рекомендованным преподавателем, рассчитать i(t), u(t) в момент коммутации и после нее. Представить обе величины графиками в интервале времени 0 ¸ 4t [c].

Таблица 2

ЗАДАНИЕ 3. Выполнить анализ переходного процесса в цепи первого порядка. Схема цепи изображена на рис.1 в обобщенном виде. Начальные условия нулевые.

Рис.1

Перед исследованием необходимо составить схему цепи, воспользовавшись информацией таблицы. В качестве примера на рис. 2 изображена схема с параметрами 24-го варианта таблицы 3.

Рис. 2

Методом, рекомендованным преподавателем, рассчитать i(t), u(t) в момент коммутации и после нее. Представить обе величины графиками в интервале времени 0 ¸ 4t [c].

Таблица 3

ЗАДАНИЕ 4. Выполнить анализ переходного процесса в цепи первого порядка. Схема цепи изображена на рис.1 в обобщенном виде. Начальные условия ненулевые.

Рис.1

Перед исследованием необходимо составить схему цепи, воспользовавшись информацией таблицы. Ключ расположен либо параллельно любому из семи элементов, либо последовательно элементам средней или правой ветви. До коммутации ( t<0) ключ либо замкнут ( З ) либо разомкнут ( Р ).

В качестве примера на рис. 2 изображена схема с параметрами 27-го варианта таблицы 4.

		В данном варианте пятого и шестого элементов нет, поэтому они закорочены.

Рис. 2

Методом, рекомендованным преподавателем, рассчитать i(t), u(t) в момент коммутации и после нее. Представить обе величины графиками в интервале времени 0 ¸ 4t [c].

Таблица 4