Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов . Пусть представляет собой множество в пространстве (числовая прямая), (плоскость), ( мерное евклидово пространство).

В пространстве в качестве множеств будем рассматривать только промежутки и их объединения, т.е. множества, имеющие длину; в пространстве - те множества, которые имеют площадь; в - множества, имеющие объём; в , , - множества, имеющие обобщённый ( мерный) объём. Такие множества будем называть измеримыми.

Под мерой множества будем понимать длину, площадь, объём или обобщённый объём в зависимости от .

Будем считать, что пространство элементарных исходов случайного опыта имеет конечную меру и точки (элементарные исходы) в этом опыте выбираются так, что вероятность попадания в любое измеримое множество пропорциональна и не зависит от формы и расположения в пространстве (последнее условие аналогично требованию о равновозможности элементарных исходов в классической схеме). Такой опыт называют геометрической схемой.

Итак, пусть случайный опыт представляет собой геометрическую схему и событие есть измеримое подмножество пространства . Тогда вероятностью события называют число

. (1.4.1)

Это определение называют геометрическим определением вероятности, а вероятность (1.4.1) – геометрической вероятностью.

Легко убедиться в том, что геометрическая вероятность обладает теми же основными свойствами, что и классическая вероятность:

1. для любого события .

2. .

3. для любых несовместных событий ( ).

Пример 1.4.1.

Точное значение физической величины округляют до ближайшего целого числа. Найти вероятность того, что абсолютная величина ошибки округления не превысит 0,1 (событие ).

◄При округлении точного значения до ближайшего целого возникает случайная ошибка , величина которой лежит в диапазоне от –0,5 до +0,5. Таким образом, опыт состоит в случайном выборе числа из этого диапазона, соответствующий элементарный исход . Поэтому пространство элементарных исходов .

Событие , согласно условию задачи, это множество .

Рис. 1.4.1. К примеру 1.4.1.

Пространство и множество показаны на рис. 1.4.1. В данном случае мерой множества является его длина, поэтому .►

Пример 1.4.2.

К причалу для высадки пассажиров в течение ближайшего часа в случайные моменты времени должны подойти два катера. Одновременное причаливание обоих катеров невозможно. Время высадки пассажиров с первого катера составляет 10 мин, а со второго катера – 20 мин.

Найти вероятность того, что одному из катеров придётся ожидать освобождения причала (событие ).

◄Обозначим время прихода первого катера через , а второго – через . Тогда опыт можно представить как случайный выбор упорядоченной пары чисел , т.е. элементарными исходами являются точки пространства (плоскости). Если выбрать в качестве единицы измерения времени 1 мин, то пространством элементарных исходов будет множество . Очевидно, это квадрат со стороной 60 (рис. 1.4.2).

Рис. 1.4.2. К примеру 1.4.2

Событие произойдёт в любом из следующих случаев:

а) первый катер прибудет не позднее второго ( ) и при этом к моменту прихода второго катера высадка с первого катера ещё не закончится ( ), т.е. если ;

б) второй катер придёт раньше, т.е. и к прибытию первого катера высадка пассажиров на втором ещё не закончится: , т.е. если .

Таким образом, условие появления события описывается соотношениями , поэтому . Область на рис 1.4.2 заштрихована.

В данном случае мера множества – это площадь. Площадь области на рис. 1.4.2 равна площади квадрата без двух угловых треугольников поэтому , и .►

Пример 1.4.3.

По дороге в институт студент едет последовательно на трёх автобусах разных маршрутов. Интервалы движения автобусов на этих маршрутах совпадают и равны мин.

С какой вероятностью общее время, израсходованное студентом на ожидание автобусов, не превзойдёт мин (событие )?

◄Обозначим время ожидания первого автобуса, - время ожидания второго автобуса и - время ожидания третьего автобуса.

Рис. 1.4.3. К примеру 1.4.3

Опыт состоит в случайном выборе чисел , и , т.е. упорядоченной тройки чисел . Таким образом, элементарными исходами данного опыта являются точки пространства .

По условию задачи пространство элементарных исходов определяется так: . Это куб с ребром , см. рис. 1.4.3. Событие происходит, если . Поэтому .

Точки, принадлежащие множеству , лежат по ту же сторону от плоскости , что и начало координат (часть этой плоскости, расположенная внутри куба , заштрихована на рис. 1.4.3). Кроме того, точки множества расположены в кубе . Поэтому - это четырёхгранная пирамида, три грани которой лежат в координатных плоскостях, а четвёртая - в плоскости , см. рис. 1.4.3.

Меры множеств и - это их объёмы, поэтому , . Окончательно, .►

Замечание

В примерах 1.4.1 – 1.4.3 рассмотрены случайные опыты, сводящиеся к геометрической схеме в пространствах , . Из решений этих примеров видно, что при использовании геометрического подхода вероятность события находится в результате выполнения следующих действий.

1. Определение размерности пространства данной геометрической схемы.

2. Аналитическое описание пространства элементарных исходов и подмножества (с помощью неравенств, включений множеств и т.п.).

3. Геометрическое описание и (изображение областей и ). Если , геометрическое описание невозможно. При часто обходятся без геометрической иллюстрации в силу простоты задачи.

4. Вычисление , и нахождение вероятности по формуле (1.4.1). При обобщённый ( -мерный) объём области находят с помощью -кратного интегрирования: .

Впервые геометрический подход к вычислению вероятности применил известный учёный Жорж Бюффон. В работе, написанной в 1733 году, он рассмотрел следующую задачу.

Пример 1.4.4. Задача Бюффона.

На плоскость, разграниченную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние , наудачу бросается игла диной ( ). Найти вероятность события {игла пересечет какую-либо из прямых }.