Главная | Обратная связь

Для однослойной стенки количество передаваемого тепла выражается

, Дж, (1.1')

где (t₁ – t₂) = Dt =(grad t) – разность температур поверхностей стенки; k – коэффициент теплопередачи теплопроводностью, представляющее отношение , где δ – толщина нагреваемого изделия (стенки), м.

Формула Фурье для плоской стенки через плотность теплового потока (удельный тепловой поток)

, Вт/м². (1.3')

Уравнение (1.3') является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки. Оно связывает между собой четыре величины (q, t,δ, λ)

2.3. Передача тепла теплопроводностью через многослойную стенку (при известном коэффициенте теплопроводности l)

 

В качестве примера выберем трехслойную стенку с толщинами слоев d₁, d₂, d₃ с коэффициентами теплопроводности соответственно l₁, l₂, l₃ (рис. 1.1).

Количество тепла, передаваемого через 1 м² слоев в час (плотность теплового потока, q, Вт/м²), согласно (1.3') определяется

как:

;

;

.

 

При стационарном тепло-обмене плотности тепловых потоков постоянны и для всех слоев равны, т. е. q₁ = q₂ = q₃. Тогда уравнения плотности тепловых потоков можно преобразовать следующим образом:

; ; . (1.3'')

Сложив эти выражения, получим:

. Отсюда

, Вт/м².

Для упрощения записи первый сомножитель этого уравнения можно заменить коэффициентом k, т. е. . (1.6) Тогда уравнение плотности теплового потока для трехслойной стенки окончательно примет вид: q=k×(t_вн–t_нар), Вт/м². (1.7)

Аналогично можно записать уравнение теплового потока:

Q = k×F× (t₁ – t₄), Вт. (1.8)

Промежуточные значения температуры слоев t₁₂ , t₂₃ , t_n+1 можно определить из системы уравнений (1.3'') при известных q,толщин стенок и λ.

Расчет многослойной стенки также можно производить по формуле для однослойной стенки. Для этого вводится понятие эквивалентного коэффициента теплопроводности l_эк, который определяется из соотношения

(1.9)

Тогда удельный тепловой поток через многослойную стенку примет вид:

(1.7')

 

Пример 2.3.1. Определить потери тепла через 1 м² (удельный тепловой поток) плоской однородной стенки, если на ее граничных поверхностях установившиеся температуры составляют: t₁ = 800 ^oС; t₂ = 80 ^oС.

Стенка толщиной d = 500 мм выложена из легковесного шамотного кирпича марки ШЛБ – 1,3.

Решение.Коэффициент теплопроводности легковесного шамотного кирпича марки ШЛБ – 1,3 согласно приложению 1 определяется из выражения

l = 0,5 + 0, 36 · 10^-3 t_ср , Вт/(м×град),

где t_ср – средняя температура стенки: t_ср = ½( t₁ + t₂) = 440 ^oС.

Определим средний коэффициент теплопроводности согласно (1.5')

l_ср = 0,5 + 0,00036×440 = 0,66 Вт/(м×град).

Удельный тепловой поток согласно (1.3') составит

Вт/м².

 

Пример 2.3.2 [Кац., c 25]. Определить коэффициент теплопроводности l стального листа кожуха дуговой сталеплавильной печи, если по данным замеров перепад температуры составляет Dt = 0,75 ^oС, толщина листа d = 25 мм, а удельный тепловой поток q = 1500 Вт/м².

Решение. Из уравнения (1.3') коэффициент теплопроводности определяется как l = qd/Dt; отсюда, подставив численные значения, получим

l = 1500×0,025/0,75 = 50 Вт/(м×град).

 

Пример 2.3.3[Кац., c 25].. Определить эквивалентный коэффициент теплопроводности и удельный тепловой поток трехслойной стенки со следующими данными:

· первый слой – кладка из шамотного кирпича: d₁ = 230 мм, средний

коэффициент теплопроводности l₁ = 1,0 Вт/(м×град);

· второй слой – кладка из легковесного кирпича: d₂ = 230 мм, средний

коэффициент теплопроводности l₂ = 0,6 Вт/(м×град);

· третий слой – теплоизоляционная засыпка: d₃ = 140 мм, средний

коэффициент теплопроводности l₃ = 0,15 Вт/(м×град);

· температура внутренней t_вн и наружной поверхностей t_н стенки cоответственно: t_вн = 1050 °С; t_н = 70 °С.

Решение.Эквивалентный коэффициент теплопроводности для трехслойной стенки согласно (1.9):

Подставив численные значения в (1.7') вычислим удельный тепловой поток через трехслойную стенку: q = 0,388 (1050-70)/0,6 = 635 Вт/м².

 

В рассмотренных примерах условия расчета облегчены тем, что коэффициенты теплопроводности были заданы. В реальных условиях расчеты усложняются, поскольку значения коэффициентов теплопроводности материалов зависят от температуры, распределение которых для многослойной стенки является неизвестным[Кац., c 25] . Рассмотрим эти случаи на примерах.

 

Расчёт теплопередачи через многослойную стенку при неизвестном λ

Пример 2.3.4.Определить количество тепла Q (Вт), проходящего в час через 1 м² двухслойной стенки, состоящей из слоя шамотного кирпича толщиной d₁ и слоя диатомитового кирпича марки 600 (Д-600) толщиной d₂. Температура внутренней поверхности двухслойной стенки t₁, а внешней t₂ (рис.1.2).

t₁ = 900 ^oC;

t₂ = 100 ^oC;

d₁ = 0,15 м;

d₂ = 0,25 м.

 

 

Решение. Зависимость теплопроводности l от температуры t в общем случае выражается формулой (1.5).

Среднее значение коэффициента теплопроводности в интервале температур t₁ и t₂ определяется из выражения (1.5').

Коэффициент теплопередачи теплопроводностью k, Вт/(м²×град), определяется по формуле (1.6), которую для 2-хслойной стенки представим в виде (1.6')

Среднее значение коэффициента теплопроводности (приложение 1):

- для шамотного кирпича марки ШБ общего назначения

l_ш = 0,9+0,3×t_ср10^-3 = 0,9 +0,3×0,500 = 1,05, Вт/(м×град);

- для диатомитового кирпича (приложение 2) марки Д -600;

l₂ = 0,1325+0,233×t_ср10^-3 = 0,248, Вт/(м×град).

Определим по уравнению (1.6') коэффициент теплопередачи теплопроводностью Вт/(м²×град). Количество передаваемого тепла Q (Вт) определяется из уравнения (1.8), имеющее для нашего примера вид при F = 1 м² (по условию) т. е.

Q = 0,87 × 1× (900-100) = 695,65 Вт.

При выполнении расчета тепловых потерь через двухслойную стенку в предыдущем примере 2.3.4, не учитывалась температура на границах слоев, что обусловило некоторую неточность при расчете среднего коэффициента теплопроводности материала слоев. По этой причине весь результат расчета тепловых потерь оказался приближенным, что допускается при выполнении некоторых технических расчетов. Далее рассмотрим пример расчета тепловых потерь с учетом температур границ слоев внутри футеровки.

 

Пример2.3.5[Кац., c 28]. Определить удельный тепловой поток через четырехслойную стенку камеры печи (методом последовательного приближения) при следующих исходных данных: граничные температуры стенки t₁ = 1000 ^оС, t₅ = 50 ^оС. Толщины слоев:

d₁ = 115 мм; d₂ = 230 мм; d₃ = 115 мм, d₄ = 90 мм (рис.1.3).

Следует иметь в виду, что такое количество слоев практически не применяется в футеровке нагревательных печей. Современные огнеупорные материалы позволяют изолировать самые высокотемпературные камеры с футеровкой всего в 2…3 слоя. Данный пример использован только с целью усвоения методики расчетов тепловых потерь через многослойную футеровку передачей тепла теплопроводностью. Допустим, что коэффициенты теплопроводности слоев стенки составляют:

l₁ = 0,755 + 0,00058×t_12ср; l₂ = 0,5 + 0,00016×t_23ср; l₃ = 0,314 + 0,00035×t_34ср; l₄ = 0,255 + 0,00026×t_45ср.

Решение.Определим полный перепад температуры по стенке

Dt = t₁ – t₅ = 1000 – 50 = 950 ^оС. Для определения теплового потока Q через четырехслойную стенку введем понятие теплового сопротивления R_т, которое определяется как отношение δ /( λ F). Отметим, что при использовании формулы удельного теплового потока (1.3') тепловым сопротивлением называется выражение δ / λ. Рассчитаем удельный тепловой поток двумя вариантами: через сопротивление холодной и нагретой стенки.

 

 

Первый вариант.Тепловое сопротивление холодной стенки R_хт складывается из теплового сопротивления ее слоев в холодном состоянии R_хтi: R_XT = R_XT1 + R_XT2 + R_XT3 + R_XT4 = d₁/l_1X + d₂/l_2X + d₃/l_3X + d₄/l_4X, или подставив численные значения получим:

R_XT = 0,115/0,755 + 0,23/0,5 + 0,115/0,314 + 0,09/0,255 = 0,152 + 0,46 +

+ 0,366 + 0,353 = 1,331 (м²град)/Вт.

Соответствующие перепады температур в слоях:

Dt_X1 = (Dt× R_XT1)/ R_XT = (950×0,152)/1,331 = 108 ^оС;

Dt_X2 = (Dt× R_XT2)/ R_XT = (950×0,46)/1,331 = 328 ^оС;

Dt_X3 = (Dt× R_XT3)/ R_XT = (950×0,366)/1,331 = 262 ^оС;

Dt_X4 = (Dt× R_XT4)/ R_XT = (950×0,353)/1,331 = 252 ^оС.

Средние температура слоев и температура их границ:

t_х1ср = t₁ – 0,5×Dt_x1 = 1000 – 0,5×108 = 946 ^oC;

t_х12 = t₁ – Dt_x1 = 1000 – 108 = 892 ^oC;

t_х2ср = t_х12 – 0,5×Dt_x2 = 892 – 0,5×328 = 728 ^oC;

t_х23 = t_х12 –Dt_x2 = 892 –328 = 564 ^oC;

t_х3ср = t_х23 – 0,5×Dt_x3 = 564 – 0,5×262 = 433 ^oC;

t_х34 = t_х23 –Dt_x3 = 564 –262 = 302 ^oC;

t_х4ср = t_х34 – 0,5×Dt_x4 = 302 – 0,5×252 = 176 ^oC.

Второй вариант.Определим коэффициенты теплопроводности для средних температур слоев нагретой стенки (см. условие):

l₁ = 0,755 + 0,00058×946 = 1,303 Вт/(м×град);

l₂ = 0,5 + 0,00016×728 = 0,616 Вт/(м×град);

l₃ = 0,314 + 0,00035×433 = 0,465 Вт/(м×град);

l₄ = 0,255 + 0,00026×176 = 0,300 Вт/(м×град).

Тепловые сопротивления нагретой стенки: R_Т = d₁/l₁ + d₂/l₂ + d₃/l₃ + d₄/l₄ или подставив численные значения получим:

R_Т = 0,115/1,303 +0,230/0,616 + 0,115/0,465 + 0,09/0,300 =1,01 (м²×град)/Вт.

Перепады температуры в слоях горячей стенки:

Dt₁ = (Dt×R_T1)/R_T = (950×0,0885)/1,01 = 83 ^оС;

Dt₂ = (Dt×R_T2)/R_T = (950×0,374)/1,01 = 382 ^оС;

Dt₃ = (Dt×R_T3)/R_T = (950×0,2475)/1,01 = 232^оС;

Dt₄ = (Dt×R_T4)/R_T = (950×0,300)/1,01 = 282 ^оС.

Соответствующие средние температуры слоев стенки

t_{1 ср} = t₁ – 0,5×Dt₁ = 1000-0,5×83 = 958 ^oC.

Отличается от принятого на t_х1ср - t_1ср = 958 – 946 = 12 ^оС;

t_{2 ср} = t₁₂ – 0,5×Dt₂ = 917 – 0,5×382 = 917 – 191 = 726 ^оС;

Отличается от принятого на (728 - 726) = 2 ^оС;

t_{3 ср} = t₂₃ – 0,5×Dt₃ = 535 – 0,5×232 = 419; разница 433 – 419 = 14 ^оС.

t_{4 ср} = t₃₄ – 0,5×Dt₄ = 162 ^оС; разница (176 – 162) = 14 ^оС.

Уточнение коэффициентов теплопроводности по полученным средним температурам для холодной и нагретой стенки дало бы разницу: для первого слоя ; для других слоев также разница очень мала, поэтому уточнение температур не требуется.

Удельный тепловой поток определяется по тепловому сопротивлению стенки R_Т: q = Dt/R_Т, подставив получим: q = (1000 - 50)/1,01 = 940 Вт/м². Удельный тепловой поток для R_XT =1,331 (м²град)/Вт составляет 714 Вт/м².

Отсюда следует весьма важный вывод: несмотря на незначительное различие средних температур слоев стенки и их границ, полученных при расчете для холодной и нагретой стенки, плотность теплового потока имеет существенную разницу. Поэтому при необходимости точных результатов необходимо вести расчет по тепловому сопротивлению стенки.

Этот пример также можно решить через λ_экв при известных коэффициентах теплопроводности в горячем состоянии: λ₁ = 1,303; λ₂ = 0,616;λ₃ = 0,465; λ₄ = 0,300 и толщинах стенок δ₁ = 0,115 м; δ₂ =0,230 м; δ₃ = 0,115 м; δ₄= 0,09 м.

по формуле (1.7¹)

 

и через

По (1.8) q = k(t_вн-t_н)=0,992•950=942,46 Вт/м²

Все три варианта решений дают один и тот же результат.