Лекция 3. Применение принципа сжимающих отображений к решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Использование эквивалентной нормы.Стр 1 из 8Следующая ⇒
Лекция 2. Применение принципа сжимающий отображений к решению линейных уравнений.
Рассмотрим линейное уравнение
, где - линейный оператор, - банахово. Теорема. Если , то уравнение (1) имеет единственное решение, которое может быть получено методом последовательных приближений по формуле , . - произвольно. Доказательство. Если , то применяем принцип сжимающих отображений. Теорема доказана. Рассмотрим решение системы линейных уравнений методом итераций. Если диагональные коэффициенты сильно преобладают над остальными, то делим -ое уравнение на , оставляем слева, а остальные слагаемые переносим вправо. Норма матрицы зависит от рассматриваемого пространства. Рассмотрим 3 различных нормы в . (1) (2) (3) Найдем норму для каждого из трех случаев. 1) Норма для (1) , Откуда Докажем, что имеет место равенство. Пусть реализует при Возьмем , где функция Тогда , причем . Следовательно 2) Норма для (2) Получаем Докажем, что имеет место равенство Пусть достигается при . Возьмем 3) Норма для (3) - симметричная неотрицательная матрица - собственные числа - ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов. Любой элемент пространства представим Пусть Тогда , Частный случай. Пусть - симметричная матрица. Имеет - множество собственных векторов, - соответственные собственные числа. Тогда - имеет те же собственные векторы с собственными числами , окончательно получаем Оценка нормы , - евклидово. Получим
Лекция 3. Применение принципа сжимающих отображений к решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Использование эквивалентной нормы. Пусть на банаховом пространстве кроме основной нормы определена вторая норма . Определение. Норма называются эквивалентными, если const , т.ч. выполнялось . При переходе к эквивалентной норме сходящиеся последовательности остаются сходящимися., замкнутые множества – замкнутыми, открытые – открытыми и т.д. Если в исходной норме оператор удовлетворяет условию Липшица, то же имеет место. Рассмотрим задачу Коши Теорема 1. Если - непрерывная функция по совокупности переменных и удовлетворяет условию Липшица по для . Тогда не некотором интервале имеет единственное решение. Доказательство. Легко проверить, что эквивалентно Рассмотри оператор , определенный правой частью уравнения Очевидно, что данный оператор действует в каждом пространстве , где с нормой Покажем, что при некотором есть оператор сжатия. Если , то - оператор сжатия. Следовательно задача имеет единственное решение на промежутке Теорему можно усилить, а именно задача имеет единственное решение на всем промежутке Теорема 2. Задача имеет единственное решение на . Задача. Доказать, что решение единственно на всем введем другую норму Обычная норма . Очевидно , т.е. нормы эквивалентны. Проверим, что в норме оператор , определенный является оператором сжатия на Если взять , то имеем сжатие с
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|