Здавалка
Главная | Обратная связь

Лекция 3. Применение принципа сжимающих отображений к решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Использование эквивалентной нормы.



Лекция 2. Применение принципа сжимающий отображений к решению линейных уравнений.

 

Рассмотрим линейное уравнение

 

, где - линейный оператор, - банахово.

Теорема. Если , то уравнение (1) имеет единственное решение, которое может быть получено методом последовательных приближений по формуле

, . - произвольно.

Доказательство.

Если , то применяем принцип сжимающих отображений. Теорема доказана.

Рассмотрим решение системы линейных уравнений методом итераций.

Если диагональные коэффициенты сильно преобладают над остальными, то делим -ое уравнение на , оставляем слева, а остальные слагаемые переносим вправо.

Норма матрицы зависит от рассматриваемого пространства.

Рассмотрим 3 различных нормы в .

(1)

(2)

(3)

Найдем норму для каждого из трех случаев.

1) Норма для (1)

,

Откуда

Докажем, что имеет место равенство.

Пусть реализует при

Возьмем , где функция

Тогда , причем .

Следовательно

2) Норма для (2)

Получаем

Докажем, что имеет место равенство

Пусть достигается при .

Возьмем

3) Норма для (3)

- симметричная неотрицательная матрица

- собственные числа

- ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов.

Любой элемент пространства представим

Пусть

Тогда ,

Частный случай.

Пусть - симметричная матрица. Имеет - множество собственных векторов, - соответственные собственные числа.

Тогда - имеет те же собственные векторы с собственными числами , окончательно получаем

Оценка нормы , - евклидово.

Получим


 

Лекция 3. Применение принципа сжимающих отображений к решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Использование эквивалентной нормы.

Пусть на банаховом пространстве кроме основной нормы определена вторая норма .

Определение. Норма называются эквивалентными, если const , т.ч. выполнялось .

При переходе к эквивалентной норме сходящиеся последовательности остаются сходящимися., замкнутые множества – замкнутыми, открытые – открытыми и т.д. Если в исходной норме оператор удовлетворяет условию Липшица, то же имеет место.

Рассмотрим задачу Коши

Теорема 1. Если - непрерывная функция по совокупности переменных и удовлетворяет условию Липшица по

для .

Тогда не некотором интервале имеет единственное решение.

Доказательство. Легко проверить, что эквивалентно

Рассмотри оператор , определенный правой частью уравнения

Очевидно, что данный оператор действует в каждом пространстве , где с нормой

Покажем, что при некотором есть оператор сжатия.

Если , то - оператор сжатия.

Следовательно задача имеет единственное решение на промежутке

Теорему можно усилить, а именно задача имеет единственное решение на всем промежутке

Теорема 2. Задача имеет единственное решение на .

Задача. Доказать, что решение единственно на всем введем другую норму

Обычная норма .

Очевидно , т.е. нормы эквивалентны.

Проверим, что в норме оператор , определенный является оператором сжатия на

Если взять , то имеем сжатие с


 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.